Theorem nosupbnd1lem3 31856

Description: Lemma for nosupbnd1 31860. If U is a prolongment of S and in A, then ( U ` dom S ) is not 2o. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupbnd1.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupbnd1lem3	|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 2o )

Distinct variable group:   A, g, u, v, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, v, u, g)   U( x, y, v, u, g)

Proof of Theorem nosupbnd1lem3

Dummy variables p q z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosupbnd1.1	. . . . . 6 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
2	1	nosupno 31849	. . . . 5 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No )
3	2	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> S e. No )
4		nodmord 31806	. . . 4 |- ( S e. No -> Ord dom S )
5		ordirr 5741	. . . 4 |- ( Ord dom S -> -. dom S e. dom S )
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> -. dom S e. dom S )
7		simpl3l 1116	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) -> U e. A )
8		ndmfv 6218	. . . . . . . 8 |- ( -. dom S e. dom U -> ( U ` dom S ) = (/) )
9		2on 7568	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. On
10	9	elexi 3213	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. _V
11	10	prid2 4298	. . . . . . . . . . 11 |- 2o e. { 1o , 2o }
12	11	nosgnn0i 31812	. . . . . . . . . 10 |- (/) =/= 2o
13		neeq1 2856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U ` dom S ) = (/) -> ( ( U ` dom S ) =/= 2o <-> (/) =/= 2o ) )
14	12, 13	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( ( U ` dom S ) = (/) -> ( U ` dom S ) =/= 2o )
15	14	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( U ` dom S ) = (/) -> -. ( U ` dom S ) = 2o )
16	8, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( -. dom S e. dom U -> -. ( U ` dom S ) = 2o )
17	16	con4i 113	. . . . . 6 |- ( ( U ` dom S ) = 2o -> dom S e. dom U )
18	17	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) -> dom S e. dom U )
19		simpl2l 1114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) -> A C_ No )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> A C_ No )
21	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> U e. A )
22	20, 21	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> U e. No )
23		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> q e. A )
24	20, 23	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> q e. No )
25	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) -> S e. No )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> S e. No )
27		nodmon 31803	. . . . . . . . 9 |- ( S e. No -> dom S e. On )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> dom S e. On )
29		simpl3r 1117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) -> ( U |` dom S ) = S )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> ( U |` dom S ) = S )
31		simpll1 1100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
32		simpll2 1101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
33		simpll3 1102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) )
34		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> ( q e. A /\ -. q <s U ) )
35	1	nosupbnd1lem2 31855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) ) -> ( q |` dom S ) = S )
36	31, 32, 33, 34, 35	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> ( q |` dom S ) = S )
37	30, 36	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> ( U |` dom S ) = ( q |` dom S ) )
38		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> ( U ` dom S ) = 2o )
39		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> -. q <s U )
40		nolesgn2ores 31825	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. No /\ q e. No /\ dom S e. On ) /\ ( ( U |` dom S ) = ( q |` dom S ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ -. q <s U ) -> ( U |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) )
41	22, 24, 28, 37, 38, 39, 40	syl321anc 1348	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ ( q e. A /\ -. q <s U ) ) -> ( U |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) )
42	41	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) /\ q e. A ) -> ( -. q <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) )
43	42	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) -> A. q e. A ( -. q <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) )
44		dmeq 5324	. . . . . . . 8 |- ( p = U -> dom p = dom U )
45	44	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( p = U -> ( dom S e. dom p <-> dom S e. dom U ) )
46		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( p = U -> ( q <s p <-> q <s U ) )
47	46	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( p = U -> ( -. q <s p <-> -. q <s U ) )
48		reseq1 5390	. . . . . . . . . 10 |- ( p = U -> ( p |` suc dom S ) = ( U |` suc dom S ) )
49	48	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( p = U -> ( ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) <-> ( U |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) )
50	47, 49	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( p = U -> ( ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) <-> ( -. q <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) )
51	50	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( p = U -> ( A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) <-> A. q e. A ( -. q <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) )
52	45, 51	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( p = U -> ( ( dom S e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) <-> ( dom S e. dom U /\ A. q e. A ( -. q <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) ) )
53	52	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( U e. A /\ ( dom S e. dom U /\ A. q e. A ( -. q <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) ) -> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) )
54	7, 18, 43, 53	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) -> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) )
55	1	nosupdm 31850	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = { z | E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) } )
56	55	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> ( dom S e. dom S <-> dom S e. { z | E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) } ) )
57	56	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( dom S e. dom S <-> dom S e. { z | E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) } ) )
58		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( z = dom S -> ( z e. dom p <-> dom S e. dom p ) )
59		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = dom S -> suc z = suc dom S )
60	59	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = dom S -> ( p |` suc z ) = ( p |` suc dom S ) )
61	59	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = dom S -> ( q |` suc z ) = ( q |` suc dom S ) )
62	60, 61	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = dom S -> ( ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) <-> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) )
63	62	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = dom S -> ( ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) <-> ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) )
64	63	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( z = dom S -> ( A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) <-> A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) )
65	58, 64	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( z = dom S -> ( ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) <-> ( dom S e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) ) )
66	65	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( z = dom S -> ( E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) <-> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) ) )
67	66	elabg 3351	. . . . . . 7 |- ( dom S e. On -> ( dom S e. { z | E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) } <-> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) ) )
68	3, 27, 67	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( dom S e. { z | E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) } <-> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) ) )
69	57, 68	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( dom S e. dom S <-> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) ) )
70	69	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) -> ( dom S e. dom S <-> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( q |` suc dom S ) ) ) ) )
71	54, 70	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 2o ) -> dom S e. dom S )
72	6, 71	mtand 691	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> -. ( U ` dom S ) = 2o )
73	72	neqned 2801	1 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   ` cfv 5888   iota_crio 6610   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem4  31857  nosupbnd1lem5  31858  nosupbnd1lem6  31859