Theorem nosupbday 31851

Description: Birthday bounding law for surreal supremum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupbday.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupbday	|- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> ( bday ` S ) C_ suc U. ( bday " A ) )

Distinct variable group:   A, g, u, v, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, v, u, g)

Proof of Theorem nosupbday

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosupbday.1	. . . 4 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
2	1	nosupno 31849	. . 3 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No )
3		bdayval 31801	. . 3 |- ( S e. No -> ( bday ` S ) = dom S )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> ( bday ` S ) = dom S )
5		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
6	1, 5	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> S = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
7	6	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = dom ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
8		2on 7568	. . . . . . . . . 10 |- 2o e. On
9	8	elexi 3213	. . . . . . . . 9 |- 2o e. _V
10	9	dmsnop 5609	. . . . . . . 8 |- dom { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } = { dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) }
11	10	uneq2i 3764	. . . . . . 7 |- ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. dom { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) = ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) } )
12		dmun 5331	. . . . . . 7 |- dom ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) = ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. dom { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } )
13		df-suc 5729	. . . . . . 7 |- suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) = ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) } )
14	11, 12, 13	3eqtr4i 2654	. . . . . 6 |- dom ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) = suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y )
15	7, 14	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> dom S = suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
17		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> A C_ No )
18		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
19		nomaxmo 31847	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ No -> E* x e. A A. y e. A -. x <s y )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> E* x e. A A. y e. A -. x <s y )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> E* x e. A A. y e. A -. x <s y )
22		reu5 3159	. . . . . . . . . . 11 |- ( E! x e. A A. y e. A -. x <s y <-> ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ E* x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
23	18, 21, 22	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> E! x e. A A. y e. A -. x <s y )
24		riotacl 6625	. . . . . . . . . 10 |- ( E! x e. A A. y e. A -. x <s y -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. A )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. A )
26	17, 25	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No )
27		bdayval 31801	. . . . . . . 8 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No -> ( bday ` ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) = dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> ( bday ` ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) = dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
29		bdayfo 31828	. . . . . . . . 9 |- bday : No -onto-> On
30		fofn 6117	. . . . . . . . 9 |- ( bday : No -onto-> On -> bday Fn No )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- bday Fn No
32		fnfvima 6496	. . . . . . . 8 |- ( ( bday Fn No /\ A C_ No /\ ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. A ) -> ( bday ` ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) e. ( bday " A ) )
33	31, 17, 25, 32	mp3an2i 1429	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> ( bday ` ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) ) e. ( bday " A ) )
34	28, 33	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. ( bday " A ) )
35		elssuni 4467	. . . . . 6 |- ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. ( bday " A ) -> dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) C_ U. ( bday " A ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) C_ U. ( bday " A ) )
37		nodmord 31806	. . . . . . 7 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No -> Ord dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
38	26, 37	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> Ord dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
39		imassrn 5477	. . . . . . . 8 |- ( bday " A ) C_ ran bday
40		forn 6118	. . . . . . . . 9 |- ( bday : No -onto-> On -> ran bday = On )
41	29, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ran bday = On
42	39, 41	sseqtri 3637	. . . . . . 7 |- ( bday " A ) C_ On
43		ssorduni 6985	. . . . . . 7 |- ( ( bday " A ) C_ On -> Ord U. ( bday " A ) )
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Ord U. ( bday " A )
45		ordsucsssuc 7023	. . . . . 6 |- ( ( Ord dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) /\ Ord U. ( bday " A ) ) -> ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) C_ U. ( bday " A ) <-> suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) C_ suc U. ( bday " A ) ) )
46	38, 44, 45	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) C_ U. ( bday " A ) <-> suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) C_ suc U. ( bday " A ) ) )
47	36, 46	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) C_ suc U. ( bday " A ) )
48	16, 47	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> dom S C_ suc U. ( bday " A ) )
49		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
50	1, 49	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> S = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
51	50	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
52		iotaex 5868	. . . . . . 7 |- ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) e. _V
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) )
54	52, 53	dmmpti 6023	. . . . . 6 |- dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) }
55	51, 54	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
56	55	adantr 481	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> dom S = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
57		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> u e. No )
58		bdayval 31801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. No -> ( bday ` u ) = dom u )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> ( bday ` u ) = dom u )
60		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( bday Fn No /\ A C_ No /\ u e. A ) -> ( bday ` u ) e. ( bday " A ) )
61	31, 60	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> ( bday ` u ) e. ( bday " A ) )
62	59, 61	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> dom u e. ( bday " A ) )
63	62	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ u e. A ) -> dom u e. ( bday " A ) )
64		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom u e. ( bday " A ) -> dom u C_ U. ( bday " A ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ u e. A ) -> dom u C_ U. ( bday " A ) )
66		sssucid 5802	. . . . . . . . . 10 |- U. ( bday " A ) C_ suc U. ( bday " A )
67	65, 66	syl6ss 3615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ u e. A ) -> dom u C_ suc U. ( bday " A ) )
68	67	sseld 3602	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ u e. A ) -> ( y e. dom u -> y e. suc U. ( bday " A ) ) )
69	68	adantrd 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ u e. A ) -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) -> y e. suc U. ( bday " A ) ) )
70	69	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) -> y e. suc U. ( bday " A ) ) )
71	70	abssdv 3676	. . . . 5 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } C_ suc U. ( bday " A ) )
72	71	adantl 482	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } C_ suc U. ( bday " A ) )
73	56, 72	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> dom S C_ suc U. ( bday " A ) )
74	48, 73	pm2.61ian 831	. 2 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> dom S C_ suc U. ( bday " A ) )
75	4, 74	eqsstrd 3639	1 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> ( bday ` S ) C_ suc U. ( bday " A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   iota_crio 6610   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794   bdaycbday 31795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  noetalem4  31866