Theorem nosupbnd1lem5 31858

Description: Lemma for nosupbnd1 31860. If U is a prolongment of S and in A, then ( U ` dom S ) is not 1o. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupbnd1.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupbnd1lem5	|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o )

Distinct variable group:   A, g, u, v, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, v, u, g)   U( x, y, v, u, g)

Proof of Theorem nosupbnd1lem5

Dummy variables a p z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosupbnd1.1	. . . . . . . 8 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
2	1	nosupno 31849	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No )
3	2	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> S e. No )
4	3	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) -> S e. No )
5		nodmord 31806	. . . . 5 |- ( S e. No -> Ord dom S )
6		ordirr 5741	. . . . 5 |- ( Ord dom S -> -. dom S e. dom S )
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . 4 |- ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) -> -. dom S e. dom S )
8		simpr3l 1122	. . . . . . 7 |- ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) -> U e. A )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> U e. A )
10		ndmfv 6218	. . . . . . . . 9 |- ( -. dom S e. dom U -> ( U ` dom S ) = (/) )
11		1on 7567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. On
12	11	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. _V
13	12	prid1 4297	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. { 1o , 2o }
14	13	nosgnn0i 31812	. . . . . . . . . . 11 |- (/) =/= 1o
15		neeq1 2856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U ` dom S ) = (/) -> ( ( U ` dom S ) =/= 1o <-> (/) =/= 1o ) )
16	14, 15	mpbiri 248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U ` dom S ) = (/) -> ( U ` dom S ) =/= 1o )
17	16	neneqd 2799	. . . . . . . . 9 |- ( ( U ` dom S ) = (/) -> -. ( U ` dom S ) = 1o )
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( -. dom S e. dom U -> -. ( U ` dom S ) = 1o )
19	18	con4i 113	. . . . . . 7 |- ( ( U ` dom S ) = 1o -> dom S e. dom U )
20	19	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> dom S e. dom U )
21		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> A C_ No )
22		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> U e. A )
23	21, 22	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> U e. No )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> U e. No )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> U e. No )
26		nofun 31802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. No -> Fun U )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> Fun U )
28		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> A C_ No )
29		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) -> z e. A )
30		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ No /\ z e. A ) -> z e. No )
31	28, 29, 30	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> z e. No )
32		nofun 31802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. No -> Fun z )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> Fun z )
34		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> ( U |` dom S ) = S )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( U |` dom S ) = S )
36		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
37		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
38		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) )
39		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( z e. A /\ -. z <s U ) )
40	1	nosupbnd1lem2 31855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) ) -> ( z |` dom S ) = S )
41	36, 37, 38, 39, 40	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( z |` dom S ) = S )
42	35, 41	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( U |` dom S ) = ( z |` dom S ) )
43	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> dom S e. dom U )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> dom S e. dom U )
45		ndmfv 6218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. dom S e. dom z -> ( z ` dom S ) = (/) )
46		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z ` dom S ) = (/) -> ( ( z ` dom S ) =/= 1o <-> (/) =/= 1o ) )
47	14, 46	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z ` dom S ) = (/) -> ( z ` dom S ) =/= 1o )
48	47	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z ` dom S ) = (/) -> -. ( z ` dom S ) = 1o )
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. dom S e. dom z -> -. ( z ` dom S ) = 1o )
50	49	con4i 113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z ` dom S ) = 1o -> dom S e. dom z )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) -> dom S e. dom z )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> dom S e. dom z )
53		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( U ` dom S ) = 1o )
54		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( z ` dom S ) = 1o )
55	53, 54	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( U ` dom S ) = ( z ` dom S ) )
56		eqfunressuc 31660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Fun U /\ Fun z ) /\ ( U |` dom S ) = ( z |` dom S ) /\ ( dom S e. dom U /\ dom S e. dom z /\ ( U ` dom S ) = ( z ` dom S ) ) ) -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) )
57	27, 33, 42, 44, 52, 55, 56	syl213anc 1345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) )
58	57	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( ( z ` dom S ) = 1o -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) )
59	58	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ z e. A ) -> ( -. z <s U -> ( ( z ` dom S ) = 1o -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) )
60	59	a2d 29	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) /\ z e. A ) -> ( ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) -> ( -. z <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) )
61	60	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) -> A. z e. A ( -. z <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) )
62	61	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) ) -> A. z e. A ( -. z <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) )
63	62	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> A. z e. A ( -. z <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) )
64		dmeq 5324	. . . . . . . . 9 |- ( p = U -> dom p = dom U )
65	64	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( p = U -> ( dom S e. dom p <-> dom S e. dom U ) )
66		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = U -> ( z <s p <-> z <s U ) )
67	66	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( p = U -> ( -. z <s p <-> -. z <s U ) )
68		reseq1 5390	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = U -> ( p |` suc dom S ) = ( U |` suc dom S ) )
69	68	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( p = U -> ( ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) <-> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) )
70	67, 69	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( p = U -> ( ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) <-> ( -. z <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) )
71	70	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( p = U -> ( A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) <-> A. z e. A ( -. z <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) )
72	65, 71	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( p = U -> ( ( dom S e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) <-> ( dom S e. dom U /\ A. z e. A ( -. z <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) ) )
73	72	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( U e. A /\ ( dom S e. dom U /\ A. z e. A ( -. z <s U -> ( U |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) ) -> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) )
74	9, 20, 63, 73	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) )
75		simplr1 1103	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
76	1	nosupdm 31850	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = { a | E. p e. A ( a e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc a ) = ( z |` suc a ) ) ) } )
77	76	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> ( dom S e. dom S <-> dom S e. { a | E. p e. A ( a e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc a ) = ( z |` suc a ) ) ) } ) )
78	75, 77	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> ( dom S e. dom S <-> dom S e. { a | E. p e. A ( a e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc a ) = ( z |` suc a ) ) ) } ) )
79	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> S e. No )
80		nodmon 31803	. . . . . . 7 |- ( S e. No -> dom S e. On )
81		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( a = dom S -> ( a e. dom p <-> dom S e. dom p ) )
82		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = dom S -> suc a = suc dom S )
83	82	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = dom S -> ( p |` suc a ) = ( p |` suc dom S ) )
84	82	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = dom S -> ( z |` suc a ) = ( z |` suc dom S ) )
85	83, 84	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = dom S -> ( ( p |` suc a ) = ( z |` suc a ) <-> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) )
86	85	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = dom S -> ( ( -. z <s p -> ( p |` suc a ) = ( z |` suc a ) ) <-> ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) )
87	86	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( a = dom S -> ( A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc a ) = ( z |` suc a ) ) <-> A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) )
88	81, 87	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( a = dom S -> ( ( a e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc a ) = ( z |` suc a ) ) ) <-> ( dom S e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) ) )
89	88	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( a = dom S -> ( E. p e. A ( a e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc a ) = ( z |` suc a ) ) ) <-> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) ) )
90	89	elabg 3351	. . . . . . 7 |- ( dom S e. On -> ( dom S e. { a | E. p e. A ( a e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc a ) = ( z |` suc a ) ) ) } <-> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) ) )
91	79, 80, 90	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> ( dom S e. { a | E. p e. A ( a e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc a ) = ( z |` suc a ) ) ) } <-> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) ) )
92	78, 91	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> ( dom S e. dom S <-> E. p e. A ( dom S e. dom p /\ A. z e. A ( -. z <s p -> ( p |` suc dom S ) = ( z |` suc dom S ) ) ) ) )
93	74, 92	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) /\ ( U ` dom S ) = 1o ) -> dom S e. dom S )
94	7, 93	mtand 691	. . 3 |- ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) -> -. ( U ` dom S ) = 1o )
95	94	neqned 2801	. 2 |- ( ( A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o )
96		rexanali 2998	. . 3 |- ( E. z e. A ( -. z <s U /\ -. ( z ` dom S ) = 1o ) <-> -. A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) )
97		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ -. z <s U ) -> z e. A )
98	21, 97, 30	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> z e. No )
99		nofv 31810	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. No -> ( ( z ` dom S ) = (/) \/ ( z ` dom S ) = 1o \/ ( z ` dom S ) = 2o ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( ( z ` dom S ) = (/) \/ ( z ` dom S ) = 1o \/ ( z ` dom S ) = 2o ) )
101		3orel2 31592	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( z ` dom S ) = 1o -> ( ( ( z ` dom S ) = (/) \/ ( z ` dom S ) = 1o \/ ( z ` dom S ) = 2o ) -> ( ( z ` dom S ) = (/) \/ ( z ` dom S ) = 2o ) ) )
102	100, 101	syl5com 31	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( -. ( z ` dom S ) = 1o -> ( ( z ` dom S ) = (/) \/ ( z ` dom S ) = 2o ) ) )
103	102	imdistanda 729	. . . . . . 7 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ -. ( z ` dom S ) = 1o ) -> ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( ( z ` dom S ) = (/) \/ ( z ` dom S ) = 2o ) ) ) )
104		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
105		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
106		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> z e. A )
107		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) )
108		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( z e. A /\ -. z <s U ) )
109	104, 105, 107, 108, 40	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( z |` dom S ) = S )
110	1	nosupbnd1lem4 31857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( z e. A /\ ( z |` dom S ) = S ) ) -> ( z ` dom S ) =/= (/) )
111	104, 105, 106, 109, 110	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( z ` dom S ) =/= (/) )
112	111	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> -. ( z ` dom S ) = (/) )
113	112	pm2.21d 118	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( ( z ` dom S ) = (/) -> ( U ` dom S ) =/= 1o ) )
114	1	nosupbnd1lem3 31856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( z e. A /\ ( z |` dom S ) = S ) ) -> ( z ` dom S ) =/= 2o )
115	104, 105, 106, 109, 114	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( z ` dom S ) =/= 2o )
116	115	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> -. ( z ` dom S ) = 2o )
117	116	pm2.21d 118	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( ( z ` dom S ) = 2o -> ( U ` dom S ) =/= 1o ) )
118	113, 117	jaod 395	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) /\ ( z e. A /\ -. z <s U ) ) -> ( ( ( z ` dom S ) = (/) \/ ( z ` dom S ) = 2o ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o ) )
119	118	expimpd 629	. . . . . . 7 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ ( ( z ` dom S ) = (/) \/ ( z ` dom S ) = 2o ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o ) )
120	103, 119	syldc 48	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. A /\ -. z <s U ) /\ -. ( z ` dom S ) = 1o ) -> ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o ) )
121	120	anasss 679	. . . . 5 |- ( ( z e. A /\ ( -. z <s U /\ -. ( z ` dom S ) = 1o ) ) -> ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o ) )
122	121	rexlimiva 3028	. . . 4 |- ( E. z e. A ( -. z <s U /\ -. ( z ` dom S ) = 1o ) -> ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o ) )
123	122	imp 445	. . 3 |- ( ( E. z e. A ( -. z <s U /\ -. ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o )
124	96, 123	sylanbr 490	. 2 |- ( ( -. A. z e. A ( -. z <s U -> ( z ` dom S ) = 1o ) /\ ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o )
125	95, 124	pm2.61ian 831	1 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ ( U |` dom S ) = S ) ) -> ( U ` dom S ) =/= 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   iota_crio 6610   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem6  31859