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Theorem ntrneiiso 38389
Description: If (pseudo-)interior and (pseudo-)neighborhood functions are related by the operator, F, then conditions equal to claiming that the interior function is isotonic hold equally. (Contributed by RP, 3-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
ntrnei.f |- F = ( ~P B O B )
ntrnei.r |- ( ph -> I F N )
Assertion
Ref Expression
ntrneiiso |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( s C_ t -> ( I ` s ) C_ ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, i, j, k, l, m, s, t, x   k, I, l, m, x   ph, i, j, k, l, s, t, x
Allowed substitution hints:   ph( m)   F( x, t, i, j, k, m, s, l)   I( t, i, j, s)   N( x, t, i, j, k, m, s, l)   O( x, t, i, j, k, m, s, l)
Proof of Theorem ntrneiiso
StepHypRef Expression
1 dfss2 3591 . . . . . . . 8 |- ( ( I ` s ) C_ ( I ` t ) <-> A. x ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) )
21imbi2i 326 . . . . . . 7 |- ( ( s C_ t -> ( I ` s ) C_ ( I ` t ) ) <-> ( s C_ t -> A. x ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) )
3 19.21v 1868 . . . . . . 7 |- ( A. x ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) <-> ( s C_ t -> A. x ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) )
42, 3bitr4i 267 . . . . . 6 |- ( ( s C_ t -> ( I ` s ) C_ ( I ` t ) ) <-> A. x ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) )
5 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) -> ( x e. B -> ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) ) )
6 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ph )
7 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
8 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F = ( ~P B O B )
9 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> I F N )
107, 8, 9ntrneiiex 38374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
11 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
126, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
13 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> s e. ~P B )
1412, 13ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` s ) e. ~P B )
1514elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` s ) C_ B )
1615sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. ( I ` s ) ) -> x e. B )
1716pm2.24d 147 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. ( I ` s ) ) -> ( -. x e. B -> x e. ( I ` t ) ) )
1817ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( x e. ( I ` s ) -> ( -. x e. B -> x e. ( I ` t ) ) ) )
1918com23 86 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( -. x e. B -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) )
2019a1dd 50 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( -. x e. B -> ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) ) )
21 idd 24 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) -> ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) ) )
2220, 21jad 174 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( x e. B -> ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) ) -> ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) ) )
235, 22impbid2 216 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) <-> ( x e. B -> ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) ) ) )
2423albidv 1849 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) <-> A. x ( x e. B -> ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) ) ) )
25 df-ral 2917 . . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) <-> A. x ( x e. B -> ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) ) )
2624, 25syl6bbr 278 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) <-> A. x e. B ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) ) )
279ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> I F N )
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> x e. B )
29 simpllr 799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> s e. ~P B )
307, 8, 27, 28, 29ntrneiel 38379 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` s ) <-> s e. ( N ` x ) ) )
31 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> t e. ~P B )
327, 8, 27, 28, 31ntrneiel 38379 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` t ) <-> t e. ( N ` x ) ) )
3330, 32imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) <-> ( s e. ( N ` x ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
3433imbi2d 330 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) <-> ( s C_ t -> ( s e. ( N ` x ) -> t e. ( N ` x ) ) ) ) )
35 impexp 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ t /\ s e. ( N ` x ) ) -> t e. ( N ` x ) ) <-> ( s C_ t -> ( s e. ( N ` x ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
36 ancomst 468 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ t /\ s e. ( N ` x ) ) -> t e. ( N ` x ) ) <-> ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) )
3735, 36bitr3i 266 . . . . . . . . 9 |- ( ( s C_ t -> ( s e. ( N ` x ) -> t e. ( N ` x ) ) ) <-> ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) )
3834, 37syl6bb 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) <-> ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
3938ralbidva 2985 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. B ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) <-> A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
4026, 39bitrd 268 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x ( s C_ t -> ( x e. ( I ` s ) -> x e. ( I ` t ) ) ) <-> A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
414, 40syl5bb 272 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( s C_ t -> ( I ` s ) C_ ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
4241ralbidva 2985 . . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. t e. ~P B ( s C_ t -> ( I ` s ) C_ ( I ` t ) ) <-> A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
43 ralcom 3098 . . . 4 |- ( A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) <-> A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) )
4442, 43syl6bb 276 . . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. t e. ~P B ( s C_ t -> ( I ` s ) C_ ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
4544ralbidva 2985 . 2 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( s C_ t -> ( I ` s ) C_ ( I ` t ) ) <-> A. s e. ~P B A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
46 ralcom 3098 . 2 |- ( A. s e. ~P B A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) )
4745, 46syl6bb 276 1 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( s C_ t -> ( I ` s ) C_ ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859
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