Theorem ntrneix3 38395

Description: The closure of the union of any pair is a subset of the union of closures if and only if the union of any pair belonging to the convergents of a point implies at least one of the pair belongs to the the convergents of that point. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	|- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
ntrnei.f	|- F = ( ~P B O B )
ntrnei.r	|- ( ph -> I F N )

Assertion

Ref	Expression
ntrneix3	|- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, i, j, k, l, m, s, t, x   k, I, l, m, x   ph, i, j, k, l, s, t, x

Allowed substitution hints:   ph( m)   F( x, t, i, j, k, m, s, l)   I( t, i, j, s)   N( x, t, i, j, k, m, s, l)   O( x, t, i, j, k, m, s, l)

Proof of Theorem ntrneix3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3592	. . . . . 6 |- ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) )
2		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . 13 |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
3		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( ~P B O B )
4		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I F N )
5	2, 3, 4	ntrneiiex 38374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
6	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
7		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
9	2, 3, 4	ntrneibex 38371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. _V )
10	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> B e. _V )
11		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> s e. ~P B )
12	11	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> s C_ B )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> t e. ~P B )
14	13	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> t C_ B )
15	12, 14	unssd 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( s u. t ) C_ B )
16	10, 15	sselpwd 4807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( s u. t ) e. ~P B )
17	8, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` ( s u. t ) ) e. ~P B )
18	17	elpwid 4170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` ( s u. t ) ) C_ B )
19		ralss 3668	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ B -> ( A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) ) )
21	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> I F N )
22		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> x e. B )
23	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> B e. _V )
24		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> s e. ~P B )
25	24	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> s C_ B )
26		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> t e. ~P B )
27	26	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> t C_ B )
28	25, 27	unssd 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( s u. t ) C_ B )
29	23, 28	sselpwd 4807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( s u. t ) e. ~P B )
30	2, 3, 21, 22, 29	ntrneiel 38379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) <-> ( s u. t ) e. ( N ` x ) ) )
31		elun 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) )
32	2, 3, 21, 22, 24	ntrneiel 38379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` s ) <-> s e. ( N ` x ) ) )
33	2, 3, 21, 22, 26	ntrneiel 38379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` t ) <-> t e. ( N ` x ) ) )
34	32, 33	orbi12d 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
35	31, 34	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
36	30, 35	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) <-> ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
37	36	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) <-> A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
38	20, 37	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
39	1, 38	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
40	39	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
41		ralcom 3098	. . . 4 |- ( A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) <-> A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
42	40, 41	syl6bb 276	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
43	42	ralbidva 2985	. 2 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. s e. ~P B A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
44		ralcom 3098	. 2 |- ( A. s e. ~P B A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
45	43, 44	syl6bb 276	1 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

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