Theorem opabiota 6261

Description: Define a function whose value is "the unique y such that ph ( x , y )". (Contributed by NM, 16-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabiota.1	|- F = { <. x , y >. | { y | ph } = { y } }
opabiota.2	|- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
opabiota	|- ( B e. dom F -> ( F ` B ) = ( iota y ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( y)

Proof of Theorem opabiota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . 3 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
2		opabiota.2	. . . 4 |- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
3	2	iotabidv 5872	. . 3 |- ( x = B -> ( iota y ph ) = ( iota y ps ) )
4	1, 3	eqeq12d 2637	. 2 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) = ( iota y ph ) <-> ( F ` B ) = ( iota y ps ) ) )
5		vex 3203	. . . 4 |- x e. _V
6	5	eldm 5321	. . 3 |- ( x e. dom F <-> E. y x F y )
7		nfiota1 5853	. . . . 5 |- F/_ y ( iota y ph )
8	7	nfeq2 2780	. . . 4 |- F/ y ( F ` x ) = ( iota y ph )
9		opabiota.1	. . . . . . 7 |- F = { <. x , y >. | { y | ph } = { y } }
10	9	opabiotafun 6259	. . . . . 6 |- Fun F
11		funbrfv 6234	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( x F y -> ( F ` x ) = y ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x F y -> ( F ` x ) = y )
13		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
14	9	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | { y | ph } = { y } } )
15		opabid 4982	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | { y | ph } = { y } } <-> { y | ph } = { y } )
16	13, 14, 15	3bitri 286	. . . . . . 7 |- ( x F y <-> { y | ph } = { y } )
17		vsnid 4209	. . . . . . . . 9 |- y e. { y }
18		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( { y | ph } = { y } -> { y | ph } = { y } )
19	17, 18	syl5eleqr 2708	. . . . . . . 8 |- ( { y | ph } = { y } -> y e. { y | ph } )
20		abid 2610	. . . . . . . 8 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
21	19, 20	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( { y | ph } = { y } -> ph )
22	16, 21	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( x F y -> ph )
23		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
24	5, 23	breldm 5329	. . . . . . . 8 |- ( x F y -> x e. dom F )
25	9	opabiotadm 6260	. . . . . . . . 9 |- dom F = { x | E! y ph }
26	25	abeq2i 2735	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom F <-> E! y ph )
27	24, 26	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( x F y -> E! y ph )
28		iota1 5865	. . . . . . 7 |- ( E! y ph -> ( ph <-> ( iota y ph ) = y ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( x F y -> ( ph <-> ( iota y ph ) = y ) )
30	22, 29	mpbid 222	. . . . 5 |- ( x F y -> ( iota y ph ) = y )
31	12, 30	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( x F y -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
32	8, 31	exlimi 2086	. . 3 |- ( E. y x F y -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
33	6, 32	sylbi 207	. 2 |- ( x e. dom F -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
34	4, 33	vtoclga 3272	1 |- ( B e. dom F -> ( F ` B ) = ( iota y ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   {cab 2608   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   dom cdm 5114   iotacio 5849   Fun wfun 5882   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896

This theorem is referenced by: (None)