Theorem ople1 34478

Description: Any element is less than the orthoposet unit. (chss 28086 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ople1.b	|- B = ( Base ` K )
ople1.l	|- .<_ = ( le ` K )
ople1.u	|- .1. = ( 1. ` K )

Assertion

Ref	Expression
ople1	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> X .<_ .1. )

Proof of Theorem ople1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ople1.b	. 2 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2622	. 2 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
3		ople1.l	. 2 |- .<_ = ( le ` K )
4		ople1.u	. 2 |- .1. = ( 1. ` K )
5		simpl 473	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> K e. OP )
6		simpr 477	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> X e. B )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( glb ` K ) = ( glb ` K )
8	1, 2, 7	op01dm 34470	. . . 4 |- ( K e. OP -> ( B e. dom ( lub ` K ) /\ B e. dom ( glb ` K ) ) )
9	8	simpld 475	. . 3 |- ( K e. OP -> B e. dom ( lub ` K ) )
10	9	adantr 481	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> B e. dom ( lub ` K ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	ple1 17044	1 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> X .<_ .1. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   lubclub 16942   glbcglb 16943   1.cp1 17038   OPcops 34459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-lub 16974  df-p1 17040  df-oposet 34463

This theorem is referenced by:  op1le  34479  glb0N  34480  opoc1  34489  ncvr1  34559  1cvrat  34762  pmap1N  35053  pol1N  35196  dih1  36575  dihjatc  36706