Theorem opltcon2b 34493

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chsscon2 28361 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opltcon3.b	|- B = ( Base ` K )
opltcon3.s	|- .< = ( lt ` K )
opltcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
opltcon2b	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< ( ._|_ ` Y ) <-> Y .< ( ._|_ ` X ) ) )

Proof of Theorem opltcon2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opltcon3.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		opltcon3.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( oc ` K )
3	1, 2	opoccl 34481	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
4	3	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
5		opltcon3.s	. . . 4 |- .< = ( lt ` K )
6	1, 5, 2	opltcon3b 34491	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( X .< ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) .< ( ._|_ ` X ) ) )
7	4, 6	syld3an3 1371	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) .< ( ._|_ ` X ) ) )
8	1, 2	opococ 34482	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
9	8	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
10	9	breq1d 4663	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) .< ( ._|_ ` X ) <-> Y .< ( ._|_ ` X ) ) )
11	7, 10	bitrd 268	1 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< ( ._|_ ` Y ) <-> Y .< ( ._|_ ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   occoc 15949   ltcplt 16941   OPcops 34459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-oposet 34463

This theorem is referenced by:  cvrcon3b  34564