Theorem cvrcon3b 34564

Description: Contraposition law for the covers relation. (cvcon3 29143 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrcon3b.b	|- B = ( Base ` K )
cvrcon3b.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
cvrcon3b.c	|- C = ( <o ` K )

Assertion

Ref	Expression
cvrcon3b	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` Y ) C ( ._|_ ` X ) ) )

Proof of Theorem cvrcon3b

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrcon3b.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( lt ` K ) = ( lt ` K )
3		cvrcon3b.o	. . . 4 |- ._|_ = ( oc ` K )
4	1, 2, 3	opltcon3b 34491	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( lt ` K ) Y <-> ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) )
5		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> K e. OP )
6		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> X e. B )
7		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> x e. B )
8	1, 2, 3	opltcon3b 34491	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X ( lt ` K ) x <-> ( ._|_ ` x ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> ( X ( lt ` K ) x <-> ( ._|_ ` x ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) )
10		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> Y e. B )
11	1, 2, 3	opltcon3b 34491	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. OP /\ x e. B /\ Y e. B ) -> ( x ( lt ` K ) Y <-> ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` x ) ) )
12	5, 7, 10, 11	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> ( x ( lt ` K ) Y <-> ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` x ) ) )
13	9, 12	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> ( ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) <-> ( ( ._|_ ` x ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` x ) ) ) )
14	1, 3	opoccl 34481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. OP /\ x e. B ) -> ( ._|_ ` x ) e. B )
15	14	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> ( ._|_ ` x ) e. B )
16		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ._|_ ` x ) -> ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y <-> ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` x ) ) )
17		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ._|_ ` x ) -> ( y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) <-> ( ._|_ ` x ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) )
18	16, 17	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ._|_ ` x ) -> ( ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` x ) /\ ( ._|_ ` x ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
19	18	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ._|_ ` x ) e. B /\ ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` x ) /\ ( ._|_ ` x ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) -> E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) )
20	19	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ._|_ ` x ) e. B -> ( ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` x ) /\ ( ._|_ ` x ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) -> E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
21	15, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` x ) /\ ( ._|_ ` x ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) -> E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
22	21	ancomsd 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` x ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` x ) ) -> E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
23	13, 22	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ x e. B ) -> ( ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) -> E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
24	23	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) -> E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
25		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> K e. OP )
26		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> Y e. B )
27		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> y e. B )
28	1, 2, 3	opltcon1b 34492	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. OP /\ Y e. B /\ y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y <-> ( ._|_ ` y ) ( lt ` K ) Y ) )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y <-> ( ._|_ ` y ) ( lt ` K ) Y ) )
30		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> X e. B )
31	1, 2, 3	opltcon2b 34493	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. OP /\ y e. B /\ X e. B ) -> ( y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) <-> X ( lt ` K ) ( ._|_ ` y ) ) )
32	25, 27, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> ( y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) <-> X ( lt ` K ) ( ._|_ ` y ) ) )
33	29, 32	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) <-> ( ( ._|_ ` y ) ( lt ` K ) Y /\ X ( lt ` K ) ( ._|_ ` y ) ) ) )
34	1, 3	opoccl 34481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. OP /\ y e. B ) -> ( ._|_ ` y ) e. B )
35	34	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> ( ._|_ ` y ) e. B )
36		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ._|_ ` y ) -> ( X ( lt ` K ) x <-> X ( lt ` K ) ( ._|_ ` y ) ) )
37		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ._|_ ` y ) -> ( x ( lt ` K ) Y <-> ( ._|_ ` y ) ( lt ` K ) Y ) )
38	36, 37	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ._|_ ` y ) -> ( ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) <-> ( X ( lt ` K ) ( ._|_ ` y ) /\ ( ._|_ ` y ) ( lt ` K ) Y ) ) )
39	38	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ._|_ ` y ) e. B /\ ( X ( lt ` K ) ( ._|_ ` y ) /\ ( ._|_ ` y ) ( lt ` K ) Y ) ) -> E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) )
40	39	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ._|_ ` y ) e. B -> ( ( X ( lt ` K ) ( ._|_ ` y ) /\ ( ._|_ ` y ) ( lt ` K ) Y ) -> E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) ) )
41	35, 40	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( X ( lt ` K ) ( ._|_ ` y ) /\ ( ._|_ ` y ) ( lt ` K ) Y ) -> E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) ) )
42	41	ancomsd 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` y ) ( lt ` K ) Y /\ X ( lt ` K ) ( ._|_ ` y ) ) -> E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) ) )
43	33, 42	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ y e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) -> E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) ) )
44	43	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) -> E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) ) )
45	24, 44	impbid 202	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) <-> E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
46	45	notbid 308	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) <-> -. E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
47	4, 46	anbi12d 747	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ( lt ` K ) Y /\ -. E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ -. E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) ) )
48		cvrcon3b.c	. . 3 |- C = ( <o ` K )
49	1, 2, 48	cvrval 34556	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( X ( lt ` K ) Y /\ -. E. x e. B ( X ( lt ` K ) x /\ x ( lt ` K ) Y ) ) ) )
50		simp1 1061	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )
51	1, 3	opoccl 34481	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
52	51	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
53	1, 3	opoccl 34481	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
54	53	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
55	1, 2, 48	cvrval 34556	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ ( ._|_ ` Y ) e. B /\ ( ._|_ ` X ) e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) C ( ._|_ ` X ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ -. E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) ) )
56	50, 52, 54, 55	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) C ( ._|_ ` X ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ -. E. y e. B ( ( ._|_ ` Y ) ( lt ` K ) y /\ y ( lt ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) ) )
57	47, 49, 56	3bitr4d 300	1 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` Y ) C ( ._|_ ` X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   occoc 15949   ltcplt 16941   OPcops 34459   <o ccvr 34549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-oposet 34463  df-covers 34553

This theorem is referenced by:  cvrcmp2  34571  cvrexch  34706  1cvrco  34758  1cvrjat  34761  lhprelat3N  35326