Theorem opoccl 34481

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 28165 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	|- B = ( Base ` K )
opoccl.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
opoccl	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
3		opoccl.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( oc ` K )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 34469	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) /\ ( X ( join ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 1. ` K ) /\ ( X ( meet ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 0. ` K ) ) )
9	8	3anidm23 1385	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) /\ ( X ( join ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 1. ` K ) /\ ( X ( meet ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 0. ` K ) ) )
10	9	simp1d 1073	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X ( le ` K ) X -> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) ) )
11	10	simp1d 1073	1 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   occoc 15949   joincjn 16944   meetcmee 16945   0.cp0 17037   1.cp1 17038   OPcops 34459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oposet 34463

This theorem is referenced by:  opcon2b  34484  oplecon3b  34487  oplecon1b  34488  opoc1  34489  opltcon3b  34491  opltcon1b  34492  opltcon2b  34493  riotaocN  34496  oldmm1  34504  oldmm2  34505  oldmm3N  34506  oldmm4  34507  oldmj1  34508  oldmj2  34509  oldmj3  34510  oldmj4  34511  olm11  34514  latmassOLD  34516  omllaw2N  34531  omllaw4  34533  cmtcomlemN  34535  cmt2N  34537  cmt3N  34538  cmt4N  34539  cmtbr2N  34540  cmtbr3N  34541  cmtbr4N  34542  lecmtN  34543  omlfh1N  34545  omlfh3N  34546  omlspjN  34548  cvrcon3b  34564  cvrcmp2  34571  atlatmstc  34606  glbconN  34663  glbconxN  34664  cvrexch  34706  1cvrco  34758  1cvratex  34759  1cvrjat  34761  polval2N  35192  polsubN  35193  2polpmapN  35199  2polvalN  35200  poldmj1N  35214  pmapj2N  35215  polatN  35217  2polatN  35218  pnonsingN  35219  ispsubcl2N  35233  polsubclN  35238  poml4N  35239  pmapojoinN  35254  pl42lem1N  35265  lhpoc2N  35301  lhpocnle  35302  lhpmod2i2  35324  lhpmod6i1  35325  lhprelat3N  35326  trlcl  35451  trlle  35471  docaclN  36413  doca2N  36415  djajN  36426  dih1  36575  dih1dimatlem  36618  dochcl  36642  dochvalr3  36652  doch2val2  36653  dochss  36654  dochocss  36655  dochoc  36656  dochnoncon  36680  djhlj  36690