Theorem opltcon3b 34491

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon3 28362 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opltcon3.b	|- B = ( Base ` K )
opltcon3.s	|- .< = ( lt ` K )
opltcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
opltcon3b	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` X ) ) )

Proof of Theorem opltcon3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opltcon3.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
3		opltcon3.o	. . . 4 |- ._|_ = ( oc ` K )
4	1, 2, 3	oplecon3b 34487	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( le ` K ) Y <-> ( ._|_ ` Y ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) ) )
5	1, 2, 3	oplecon3b 34487	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y ( le ` K ) X <-> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) )
6	5	3com23 1271	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y ( le ` K ) X <-> ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) )
7	6	notbid 308	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. Y ( le ` K ) X <-> -. ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) )
8	4, 7	anbi12d 747	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ( le ` K ) Y /\ -. Y ( le ` K ) X ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ -. ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) ) )
9		opposet 34468	. . 3 |- ( K e. OP -> K e. Poset )
10		opltcon3.s	. . . 4 |- .< = ( lt ` K )
11	1, 2, 10	pltval3 16967	. . 3 |- ( ( K e. Poset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y <-> ( X ( le ` K ) Y /\ -. Y ( le ` K ) X ) ) )
12	9, 11	syl3an1 1359	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y <-> ( X ( le ` K ) Y /\ -. Y ( le ` K ) X ) ) )
13	9	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Poset )
14	1, 3	opoccl 34481	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
15	14	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
16	1, 3	opoccl 34481	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
17	16	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
18	1, 2, 10	pltval3 16967	. . 3 |- ( ( K e. Poset /\ ( ._|_ ` Y ) e. B /\ ( ._|_ ` X ) e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` X ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ -. ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) ) )
19	13, 15, 17, 18	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` X ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) ( le ` K ) ( ._|_ ` X ) /\ -. ( ._|_ ` X ) ( le ` K ) ( ._|_ ` Y ) ) ) )
20	8, 12, 19	3bitr4d 300	1 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   occoc 15949   Posetcpo 16940   ltcplt 16941   OPcops 34459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-oposet 34463

This theorem is referenced by:  opltcon1b  34492  opltcon2b  34493  cvrcon3b  34564  1cvratex  34759  lhprelat3N  35326