Theorem otiunsndisj 4980

Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjoint. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
otiunsndisj	|- ( B e. X -> Disj a e. V U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } )

Distinct variable groups:   B, a, c   V, a, c   W, a, c   X, a, c

Proof of Theorem otiunsndisj

Dummy variables d e s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } <-> E. c e. ( W \ { a } ) s e. { <. a , B , c >. } )
2		otthg 4954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a e. V /\ B e. X /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. <-> ( a = d /\ B = B /\ c = e ) ) )
3		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a = d /\ B = B /\ c = e ) -> a = d )
4	2, 3	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( a e. V /\ B e. X /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> ( <. a , B , c >. = <. d , B , e >. -> a = d ) )
5	4	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. V /\ B e. X /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
6	5	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a e. V -> ( B e. X -> ( c e. ( W \ { a } ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) ) )
7	6	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. X /\ a e. V ) -> ( c e. ( W \ { a } ) -> ( -. a = d -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) )
8	7	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. a = d -> ( ( B e. X /\ a e. V ) -> ( c e. ( W \ { a } ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) ) )
9	8	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. )
10		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. { <. a , B , c >. } <-> s = <. a , B , c >. )
11		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s = <. a , B , c >. -> ( s = <. d , B , e >. <-> <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
12	11	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = <. a , B , c >. -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
13	10, 12	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. { <. a , B , c >. } -> ( -. s = <. d , B , e >. <-> -. <. a , B , c >. = <. d , B , e >. ) )
14	9, 13	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> ( s e. { <. a , B , c >. } -> -. s = <. d , B , e >. ) )
15	14	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. s = <. d , B , e >. )
16		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. { <. d , B , e >. } <-> s = <. d , B , e >. )
17	15, 16	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. s e. { <. d , B , e >. } )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) /\ e e. ( W \ { d } ) ) -> -. s e. { <. d , B , e >. } )
19	18	nrexdv 3001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. E. e e. ( W \ { d } ) s e. { <. d , B , e >. } )
20		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } <-> E. e e. ( W \ { d } ) s e. { <. d , B , e >. } )
21	19, 20	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) /\ s e. { <. a , B , c >. } ) -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
22	21	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) /\ c e. ( W \ { a } ) ) -> ( s e. { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } ) )
23	22	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) -> ( E. c e. ( W \ { a } ) s e. { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } ) )
24	1, 23	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) -> ( s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } ) )
25	24	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) -> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
26		oteq3 4413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = e -> <. d , B , c >. = <. d , B , e >. )
27	26	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = e -> { <. d , B , c >. } = { <. d , B , e >. } )
28	27	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . 11 |- U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } = U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. }
29	28	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } <-> s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
30	29	notbii 310	. . . . . . . . 9 |- ( -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } <-> -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
31	30	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } <-> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ e e. ( W \ { d } ) { <. d , B , e >. } )
32	25, 31	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) -> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } )
33		disj 4017	. . . . . . 7 |- ( ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) <-> A. s e. U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } -. s e. U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } )
34	32, 33	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( -. a = d /\ ( B e. X /\ a e. V ) ) -> ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) )
35	34	expcom 451	. . . . 5 |- ( ( B e. X /\ a e. V ) -> ( -. a = d -> ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
36	35	orrd 393	. . . 4 |- ( ( B e. X /\ a e. V ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
37	36	adantrr 753	. . 3 |- ( ( B e. X /\ ( a e. V /\ d e. V ) ) -> ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
38	37	ralrimivva 2971	. 2 |- ( B e. X -> A. a e. V A. d e. V ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
39		sneq 4187	. . . . 5 |- ( a = d -> { a } = { d } )
40	39	difeq2d 3728	. . . 4 |- ( a = d -> ( W \ { a } ) = ( W \ { d } ) )
41		oteq1 4411	. . . . 5 |- ( a = d -> <. a , B , c >. = <. d , B , c >. )
42	41	sneqd 4189	. . . 4 |- ( a = d -> { <. a , B , c >. } = { <. d , B , c >. } )
43	40, 42	iuneq12d 4546	. . 3 |- ( a = d -> U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } = U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } )
44	43	disjor 4634	. 2 |- (Disj a e. V U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } <-> A. a e. V A. d e. V ( a = d \/ ( U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } i^i U_ c e. ( W \ { d } ) { <. d , B , c >. } ) = (/) ) )
45	38, 44	sylibr 224	1 |- ( B e. X -> Disj a e. V U_ c e. ( W \ { a } ) { <. a , B , c >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cotp 4185   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-ot 4186  df-iun 4522  df-disj 4621

This theorem is referenced by: (None)