Theorem pnfnemnf 10094

Description: Plus and minus infinity are different elements of RR*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	|- +oo =/= -oo

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10092	. . . 4 |- +oo e. RR*
2		pwne 4831	. . . 4 |- ( +oo e. RR* -> ~P +oo =/= +oo )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ~P +oo =/= +oo
4	3	necomi 2848	. 2 |- +oo =/= ~P +oo
5		df-mnf 10077	. 2 |- -oo = ~P +oo
6	4, 5	neeqtrri 2867	1 |- +oo =/= -oo

Syntax hints:   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ~Pcpw 4158   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-pow 4843  ax-un 6949  ax-cnex 9992

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10095  xnn0nemnf  11374  xrnemnf  11951  xrltnr  11953  pnfnlt  11962  nltmnf  11963  xaddpnf1  12057  xaddnemnf  12067  xmullem2  12095  xadddilem  12124  hashnemnf  13132  xrge0iifhom  29983  esumpr2  30129