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Theorem xadddilem 12124

Description: Lemma for xadddi 12125. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xadddilem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem xadddilem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
2		recn 10026	. . . . . . . 8
3		recn 10026	. . . . . . . 8
4		recn 10026	. . . . . . . 8
5		adddi 10025	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1368	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
7	6	3expa 1265	. . . . . 6 $/\$ $/\$
8		readdcl 10019	. . . . . . . 8 $/\$
9		rexmul 12101	. . . . . . . 8 $/\$
10	8, 9	sylan2 491	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
11	10	anassrs 680	. . . . . 6 $/\$ $/\$
12		remulcl 10021	. . . . . . . 8 $/\$
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
14		remulcl 10021	. . . . . . . 8 $/\$
15	14	adantlr 751	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16		rexadd 12063	. . . . . . 7 $/\$
17	13, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$
18	7, 11, 17	3eqtr4d 2666	. . . . 5 $/\$ $/\$
19		rexadd 12063	. . . . . . 7 $/\$
20	19	adantll 750	. . . . . 6 $/\$ $/\$
21	20	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$ $/\$
22		rexmul 12101	. . . . . . 7 $/\$
23	22	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
24		rexmul 12101	. . . . . . 7 $/\$
25	24	adantlr 751	. . . . . 6 $/\$ $/\$
26	23, 25	oveq12d 6668	. . . . 5 $/\$ $/\$
27	18, 21, 26	3eqtr4d 2666	. . . 4 $/\$ $/\$
28	1, 27	sylanl1 682	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		rexr 10085	. . . . . . . . 9
30	29	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
31		xmulpnf1 12104	. . . . . . . 8 $/\$
32	30, 31	sylan 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33	32	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	22, 12	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 $/\$
35	1, 34	sylan 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		rexr 10085	. . . . . . . 8
37		renemnf 10088	. . . . . . . 8
38		xaddpnf1 12057	. . . . . . . 8 $/\$
39	36, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . 7
40	35, 39	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	33, 40	eqtr4d 2659	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	41	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		oveq2 6658	. . . . . 6
44		rexr 10085	. . . . . . . 8
45		renemnf 10088	. . . . . . . 8
46		xaddpnf1 12057	. . . . . . . 8 $/\$
47	44, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . 7
48	47	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43, 48	sylan9eqr 2678	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	oveq2d 6666	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		oveq2 6658	. . . . . 6
52	51, 33	sylan9eqr 2678	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	oveq2d 6666	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	42, 50, 53	3eqtr4d 2666	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		xmulmnf1 12106	. . . . . . . 8 $/\$
56	30, 55	sylan 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
57	56	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	35	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		renepnf 10087	. . . . . . 7
61		xaddmnf1 12059	. . . . . . 7 $/\$
62	36, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . 6
63	59, 62	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	58, 63	eqtr4d 2659	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		oveq2 6658	. . . . . 6
66		renepnf 10087	. . . . . . . 8
67		xaddmnf1 12059	. . . . . . . 8 $/\$
68	44, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . 7
69	68	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	65, 69	sylan9eqr 2678	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	oveq2d 6666	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		oveq2 6658	. . . . . 6
73	72, 57	sylan9eqr 2678	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	oveq2d 6666	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	64, 71, 74	3eqtr4d 2666	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		simpl3 1066	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
77		elxr 11950	. . . . 5 $\/$ $\/$
78	76, 77	sylib 208	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
79	78	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
80	28, 54, 75, 79	mpjao3dan 1395	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	32	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	1	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	24, 14	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 $/\$
84	82, 83	sylan 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		rexr 10085	. . . . . . 7
86		renemnf 10088	. . . . . . 7
87		xaddpnf2 12058	. . . . . . 7 $/\$
88	85, 86, 87	syl2anc 693	. . . . . 6
89	84, 88	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	81, 89	eqtr4d 2659	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	91	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		rexr 10085	. . . . . . 7
94		renemnf 10088	. . . . . . 7
95		xaddpnf2 12058	. . . . . . 7 $/\$
96	93, 94, 95	syl2anc 693	. . . . . 6
97	92, 96	sylan9eq 2676	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq2d 6666	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		oveq2 6658	. . . . . . 7
100	99, 32	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	oveq1d 6665	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	90, 98, 102	3eqtr4d 2666	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		pnfxr 10092	. . . . . . 7
105		pnfnemnf 10094	. . . . . . 7
106		xaddpnf1 12057	. . . . . . 7 $/\$
107	104, 105, 106	mp2an 708	. . . . . 6
108	32, 32	oveq12d 6668	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
109	107, 108, 32	3eqtr4a 2682	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
110	109	ad2antrr 762	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	99, 51	oveqan12d 6669	. . . . 5 $/\$
112	111	adantll 750	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		oveq12 6659	. . . . . . 7 $/\$
114	113, 107	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$
115	114	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
116	115	adantll 750	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	110, 112, 116	3eqtr4rd 2667	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		pnfaddmnf 12061	. . . . . 6
119	32, 56	oveq12d 6668	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
120		xmul01 12097	. . . . . . 7
121	1, 29, 120	3syl 18	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
122	118, 119, 121	3eqtr4a 2682	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	ad2antrr 762	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	99, 72	oveqan12d 6669	. . . . 5 $/\$
125	124	adantll 750	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126		oveq12 6659	. . . . . . 7 $/\$
127	126, 118	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$
128	127	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
129	128	adantll 750	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	123, 125, 129	3eqtr4rd 2667	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	78	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
132	103, 117, 130, 131	mpjao3dan 1395	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	56	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	1	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134, 83	sylan 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		renepnf 10087	. . . . . . 7
137		xaddmnf2 12060	. . . . . . 7 $/\$
138	85, 136, 137	syl2anc 693	. . . . . 6
139	135, 138	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	133, 139	eqtr4d 2659	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	141	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		renepnf 10087	. . . . . . 7
144		xaddmnf2 12060	. . . . . . 7 $/\$
145	93, 143, 144	syl2anc 693	. . . . . 6
146	142, 145	sylan9eq 2676	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	146	oveq2d 6666	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148		oveq2 6658	. . . . . . 7
149	148, 56	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	149	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	150	oveq1d 6665	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	140, 147, 151	3eqtr4d 2666	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	56, 32	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
154		mnfaddpnf 12062	. . . . . . 7
155	153, 154	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
156	121, 155	eqtr4d 2659	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
157	156	ad2antrr 762	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		oveq12 6659	. . . . . . 7 $/\$
159	158, 154	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$
160	159	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
161	160	adantll 750	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	148, 51	oveqan12d 6669	. . . . 5 $/\$
163	162	adantll 750	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	157, 161, 163	3eqtr4d 2666	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165		mnfxr 10096	. . . . . . 7
166		mnfnepnf 10095	. . . . . . 7
167		xaddmnf1 12059	. . . . . . 7 $/\$
168	165, 166, 167	mp2an 708	. . . . . 6
169	56, 56	oveq12d 6668	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
170	168, 169, 56	3eqtr4a 2682	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
171	170	ad2antrr 762	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	148, 72	oveqan12d 6669	. . . . 5 $/\$
173	172	adantll 750	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174		oveq12 6659	. . . . . . 7 $/\$
175	174, 168	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$
176	175	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
177	176	adantll 750	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	171, 173, 177	3eqtr4rd 2667	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	78	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
180	152, 164, 178, 179	mpjao3dan 1395	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181		simpl2 1065	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
182		elxr 11950	. . 3 $\/$ $\/$
183	181, 182	sylib 208	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
184	80, 132, 180, 183	mpjao3dan 1395	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cxad 11944

cxmu 11945

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948

This theorem is referenced by: xadddi 12125

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