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Theorem xmullem2 12095

Description: Lemma for xmulneg1 12099. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xmullem2	$/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$

**Proof of Theorem xmullem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnepnf 10095	. . . . . . . . . . . 12
2		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13
3	2	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . . . 12
4	1, 3	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11
5	4	con2i 134	. . . . . . . . . 10
6	5	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
7		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . 13
8		nltmnf 11963	. . . . . . . . . . . . 13
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
10		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	mtbiri 317	. . . . . . . . . . 11
12	11	con2i 134	. . . . . . . . . 10
13	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
14	6, 13	jaoi 394	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
16		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$
17		xrltnsym 11970	. . . . . . . . . 10 $/\$
18	16, 7, 17	sylancl 694	. . . . . . . . 9 $/\$
19	18	adantrd 484	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11
21	9, 20	mtbiri 317	. . . . . . . . . 10
22	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
24	19, 23	jaod 395	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
25	15, 24	orim12d 883	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
26		ianor 509	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
27		orcom 402	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
28	26, 27	bitri 264	. . . . . 6 $/\$ $\/$
29	25, 28	syl6ibr 242	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
30	18	con2d 129	. . . . . . . . 9 $/\$
31	30	adantrd 484	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32		pnfnlt 11962	. . . . . . . . . . 11
33	7, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
34		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	34	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	mtbiri 317	. . . . . . . . 9 $/\$
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
38	31, 37	jaod 395	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
39	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
40	39	adantld 483	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
41		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12
42	33, 41	mtbiri 317	. . . . . . . . . . 11
43	42	con2i 134	. . . . . . . . . 10
44	43	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	40, 45	jaod 395	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
47	38, 46	orim12d 883	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
48		ianor 509	. . . . . 6 $/\$ $\/$
49	47, 48	syl6ibr 242	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
50	29, 49	jcad 555	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		ioran 511	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	50, 51	syl6ibr 242	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
53	21	con2i 134	. . . . . . . . . 10
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56		pnfnemnf 10094	. . . . . . . . . . 11
57		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12
58	57	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . . 11
59	56, 58	mpbiri 248	. . . . . . . . . 10
60	59	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
62	55, 61	jaod 395	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
63	11	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
65		simpl 473	. . . . . . . . . 10 $/\$
66		xrltnsym 11970	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	65, 7, 66	sylancl 694	. . . . . . . . 9 $/\$
68	67	adantrd 484	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
69	64, 68	jaod 395	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
70	62, 69	orim12d 883	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
71		ianor 509	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
72		orcom 402	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
73	71, 72	bitri 264	. . . . . 6 $/\$ $\/$
74	70, 73	syl6ibr 242	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
75	42	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
77	67	con2d 129	. . . . . . . . 9 $/\$
78	77	adantrd 484	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	76, 78	jaod 395	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
80		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12
81	33, 80	mtbiri 317	. . . . . . . . . . 11
82	81	con2i 134	. . . . . . . . . 10
83	82	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
84	59	con2i 134	. . . . . . . . . 10
85	84	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
86	83, 85	jaoi 394	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
88	79, 87	orim12d 883	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
89		ianor 509	. . . . . 6 $/\$ $\/$
90	88, 89	syl6ibr 242	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
91	74, 90	jcad 555	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		ioran 511	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	syl6ibr 242	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
94	52, 93	jcad 555	. 2 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
95		or4 550	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
96		ioran 511	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
97	94, 95, 96	3imtr4g 285	1 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cc0 9936

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079

This theorem is referenced by: xmulneg1 12099

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