Theorem pnfnre 10081

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	|- +oo e/ RR

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuninel 7401	. . . 4 |- -. ~P U. CC e. CC
2		df-pnf 10076	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3	2	eleq1i 2692	. . . 4 |- ( +oo e. CC <-> ~P U. CC e. CC )
4	1, 3	mtbir 313	. . 3 |- -. +oo e. CC
5		recn 10026	. . 3 |- ( +oo e. RR -> +oo e. CC )
6	4, 5	mto 188	. 2 |- -. +oo e. RR
7	6	nelir 2900	1 |- +oo e/ RR

Syntax hints:   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-nel 2898  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-pnf 10076

This theorem is referenced by:  renepnf  10087  ltxrlt  10108  nn0nepnf  11371  xrltnr  11953  pnfnlt  11962  xnn0lenn0nn0  12075  hashclb  13149  hasheq0  13154  pcgcd1  15581  pc2dvds  15583  ramtcl2  15715  odhash3  17991  xrsdsreclblem  19792  pnfnei  21024  iccpnfcnv  22743  i1f0rn  23449  pnfnre2  39628