Theorem iccpnfcnv 22743

Description: Define a bijection from [ 0 , 1 ] to [ 0 , +oo ]. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iccpnfhmeo.f	|- F = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iccpnfcnv	|- ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, F

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem iccpnfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpnfhmeo.f	. . 3 |- F = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) )
2		0xr 10086	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
3		pnfxr 10092	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
4		0lepnf 11966	. . . . . . 7 |- 0 <_ +oo
5		ubicc2 12289	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1424	. . . . . 6 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x = 1 ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
8		icossicc 12260	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
9		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
10	9	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR*
11		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 1
12		snunico 12299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 ) -> ( ( 0 [,) 1 ) u. { 1 } ) = ( 0 [,] 1 ) )
13	2, 10, 11, 12	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 [,) 1 ) u. { 1 } ) = ( 0 [,] 1 )
14	13	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 0 [,) 1 ) u. { 1 } ) <-> x e. ( 0 [,] 1 ) )
15		elun 3753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( 0 [,) 1 ) u. { 1 } ) <-> ( x e. ( 0 [,) 1 ) \/ x e. { 1 } ) )
16	14, 15	bitr3i 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( x e. ( 0 [,) 1 ) \/ x e. { 1 } ) )
17		pm2.53 388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) \/ x e. { 1 } ) -> ( -. x e. ( 0 [,) 1 ) -> x e. { 1 } ) )
18	16, 17	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> ( -. x e. ( 0 [,) 1 ) -> x e. { 1 } ) )
19		elsni 4194	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { 1 } -> x = 1 )
20	18, 19	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> ( -. x e. ( 0 [,) 1 ) -> x = 1 ) )
21	20	con1d 139	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> ( -. x = 1 -> x e. ( 0 [,) 1 ) ) )
22	21	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x = 1 ) -> x e. ( 0 [,) 1 ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) = ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) )
24	23	icopnfcnv 22741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) ) )
25	24	simpli 474	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo )
26		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,) +oo ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,) +oo )
28	23	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( 0 [,) 1 ) ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) --> ( 0 [,) +oo ) )
29	27, 28	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- A. x e. ( 0 [,) 1 ) ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo )
30	29	rspec 2931	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
31	22, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x = 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
32	8, 31	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x = 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
33	7, 32	ifclda 4120	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
34	33	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
35		1elunit 12291	. . . . . 6 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
36	35	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,] +oo ) /\ y = +oo ) -> 1 e. ( 0 [,] 1 ) )
37		icossicc 12260	. . . . . 6 |- ( 0 [,) 1 ) C_ ( 0 [,] 1 )
38		snunico 12299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> ( ( 0 [,) +oo ) u. { +oo } ) = ( 0 [,] +oo ) )
39	2, 3, 4, 38	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 [,) +oo ) u. { +oo } ) = ( 0 [,] +oo )
40	39	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( 0 [,) +oo ) u. { +oo } ) <-> y e. ( 0 [,] +oo ) )
41		elun 3753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( 0 [,) +oo ) u. { +oo } ) <-> ( y e. ( 0 [,) +oo ) \/ y e. { +oo } ) )
42	40, 41	bitr3i 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( y e. ( 0 [,) +oo ) \/ y e. { +oo } ) )
43		pm2.53 388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( 0 [,) +oo ) \/ y e. { +oo } ) -> ( -. y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. { +oo } ) )
44	42, 43	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> ( -. y e. ( 0 [,) +oo ) -> y e. { +oo } ) )
45		elsni 4194	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { +oo } -> y = +oo )
46	44, 45	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> ( -. y e. ( 0 [,) +oo ) -> y = +oo ) )
47	46	con1d 139	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> ( -. y = +oo -> y e. ( 0 [,) +oo ) ) )
48	47	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. y = +oo ) -> y e. ( 0 [,) +oo ) )
49		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) -1-1-onto-> ( 0 [,) 1 ) )
50		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) -1-1-onto-> ( 0 [,) 1 ) -> `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) --> ( 0 [,) 1 ) )
51	25, 49, 50	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) --> ( 0 [,) 1 )
52	24	simpri 478	. . . . . . . . . 10 |- `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) = ( y e. ( 0 [,) +oo ) |-> ( y / ( 1 + y ) ) )
53	52	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( 0 [,) +oo ) ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) +oo ) --> ( 0 [,) 1 ) )
54	51, 53	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- A. y e. ( 0 [,) +oo ) ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 )
55	54	rspec 2931	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,) +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
56	48, 55	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. y = +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
57	37, 56	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. y = +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
58	36, 57	ifclda 4120	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,] +oo ) -> if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
59	58	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
60		eqeq2 2633	. . . . . 6 |- ( 1 = if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) -> ( x = 1 <-> x = if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) ) )
61	60	bibi1d 333	. . . . 5 |- ( 1 = if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) -> ( ( x = 1 <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) <-> ( x = if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) ) )
62		eqeq2 2633	. . . . . 6 |- ( ( y / ( 1 + y ) ) = if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> x = if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) ) )
63	62	bibi1d 333	. . . . 5 |- ( ( y / ( 1 + y ) ) = if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) -> ( ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) <-> ( x = if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) ) )
64		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y = +oo ) -> y = +oo )
65		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) = +oo )
66	65	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) <-> y = +oo ) )
67	64, 66	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y = +oo ) -> ( x = 1 -> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) )
68		pnfnre 10081	. . . . . . . . 9 |- +oo e/ RR
69		neleq1 2902	. . . . . . . . . 10 |- ( y = +oo -> ( y e/ RR <-> +oo e/ RR ) )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y = +oo ) -> ( y e/ RR <-> +oo e/ RR ) )
71	68, 70	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y = +oo ) -> y e/ RR )
72		neleq1 2902	. . . . . . . 8 |- ( y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) -> ( y e/ RR <-> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e/ RR ) )
73	71, 72	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y = +oo ) -> ( y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) -> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e/ RR ) )
74		df-nel 2898	. . . . . . . 8 |- ( if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e/ RR <-> -. if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e. RR )
75		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = 1 -> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) = ( x / ( 1 - x ) ) )
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x = 1 ) -> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) = ( x / ( 1 - x ) ) )
77		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
78	77, 31	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x = 1 ) -> ( x / ( 1 - x ) ) e. RR )
79	76, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x = 1 ) -> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e. RR )
80	79	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> ( -. x = 1 -> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e. RR ) )
81	80	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y = +oo ) -> ( -. x = 1 -> if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e. RR ) )
82	81	con1d 139	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y = +oo ) -> ( -. if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e. RR -> x = 1 ) )
83	74, 82	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y = +oo ) -> ( if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) e/ RR -> x = 1 ) )
84	73, 83	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y = +oo ) -> ( y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) -> x = 1 ) )
85	67, 84	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y = +oo ) -> ( x = 1 <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) )
86		eqeq2 2633	. . . . . . 7 |- ( +oo = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) -> ( y = +oo <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) )
87	86	bibi2d 332	. . . . . 6 |- ( +oo = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) -> ( ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = +oo ) <-> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) ) )
88		eqeq2 2633	. . . . . . 7 |- ( ( x / ( 1 - x ) ) = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) -> ( y = ( x / ( 1 - x ) ) <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) )
89	88	bibi2d 332	. . . . . 6 |- ( ( x / ( 1 - x ) ) = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) -> ( ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) <-> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) ) )
90		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
91		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) ) )
92	90, 10, 91	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y / ( 1 + y ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) )
93	56, 92	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. y = +oo ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( 1 + y ) ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) < 1 ) )
94	93	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. y = +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) e. RR )
95	93	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. y = +oo ) -> ( y / ( 1 + y ) ) < 1 )
96	94, 95	gtned 10172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. y = +oo ) -> 1 =/= ( y / ( 1 + y ) ) )
97	96	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. y = +oo ) -> 1 =/= ( y / ( 1 + y ) ) )
98	97	neneqd 2799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. y = +oo ) -> -. 1 = ( y / ( 1 + y ) ) )
99		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> 1 = ( y / ( 1 + y ) ) ) )
100	99	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( -. x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> -. 1 = ( y / ( 1 + y ) ) ) )
101	98, 100	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. y = +oo ) -> ( x = 1 -> -. x = ( y / ( 1 + y ) ) ) )
102	101	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. y = +oo ) /\ x = 1 ) -> -. x = ( y / ( 1 + y ) ) )
103		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. y = +oo ) /\ x = 1 ) -> -. y = +oo )
104	102, 103	2falsed 366	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. y = +oo ) /\ x = 1 ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = +oo ) )
105		f1ocnvfvb 6535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) : ( 0 [,) 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) ` x ) = y <-> ( `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) ` y ) = x ) )
106	25, 105	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) ` x ) = y <-> ( `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) ` y ) = x ) )
107		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. ( 0 [,) 1 ) )
108		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x / ( 1 - x ) ) e. _V
109	23	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ ( x / ( 1 - x ) ) e. _V ) -> ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) ` x ) = ( x / ( 1 - x ) ) )
110	107, 108, 109	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) ` x ) = ( x / ( 1 - x ) ) )
111	110	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) ` x ) = y <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y ) )
112		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> y e. ( 0 [,) +oo ) )
113		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y / ( 1 + y ) ) e. _V
114	52	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( y / ( 1 + y ) ) e. _V ) -> ( `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) ` y ) = ( y / ( 1 + y ) ) )
115	112, 113, 114	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) ` y ) = ( y / ( 1 + y ) ) )
116	115	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( `' ( x e. ( 0 [,) 1 ) |-> ( x / ( 1 - x ) ) ) ` y ) = x <-> ( y / ( 1 + y ) ) = x ) )
117	106, 111, 116	3bitr3rd 299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( y / ( 1 + y ) ) = x <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y ) )
118		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> ( y / ( 1 + y ) ) = x )
119		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x / ( 1 - x ) ) <-> ( x / ( 1 - x ) ) = y )
120	117, 118, 119	3bitr4g 303	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( 0 [,) 1 ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
121	22, 48, 120	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x = 1 ) /\ ( y e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. y = +oo ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
122	121	an4s 869	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ ( -. x = 1 /\ -. y = +oo ) ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
123	122	anass1rs 849	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. y = +oo ) /\ -. x = 1 ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = ( x / ( 1 - x ) ) ) )
124	87, 89, 104, 123	ifbothda 4123	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ -. y = +oo ) -> ( x = ( y / ( 1 + y ) ) <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) )
125	61, 63, 85, 124	ifbothda 4123	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( x = if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) )
126	125	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( x = if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) <-> y = if ( x = 1 , +oo , ( x / ( 1 - x ) ) ) ) )
127	1, 34, 59, 126	f1ocnv2d 6886	. 2 |- ( T. -> ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) ) ) )
128	127	trud 1493	1 |- ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,] +oo ) /\ `' F = ( y e. ( 0 [,] +oo ) |-> if ( y = +oo , 1 , ( y / ( 1 + y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   [,)cico 12177   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  22744  xrhmeo  22745