Theorem pnfnei 21024

Description: A neighborhood of +oo contains an unbounded interval based at a real number. Together with xrtgioo 22609 (which describes neighborhoods of RR) and mnfnei 21025, this gives all "negative" topological information ensuring that it is not too fine (and of course iooordt 21021 and similar ensure that it has all the sets we want). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnei	|- ( ( A e. (ordTop ` <_ ) /\ +oo e. A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem pnfnei

Dummy variables a b c u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) = ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) = ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ran (,) = ran (,)
4	1, 2, 3	leordtval 21017	. . 3 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) )
5	4	eleq2i 2693	. 2 |- ( A e. (ordTop ` <_ ) <-> A e. ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ) )
6		tg2 20769	. . 3 |- ( ( A e. ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ) /\ +oo e. A ) -> E. u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ( +oo e. u /\ u C_ A ) )
7		elun 3753	. . . . 5 |- ( u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) <-> ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) \/ u e. ran (,) ) )
8		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) <-> ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) \/ u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) )
9		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) = ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) )
11	10	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. _V -> ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) <-> E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) ) )
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) <-> E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) )
13		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -oo e. RR*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> -oo e. RR* )
15		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> y e. RR* )
16		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR*
17		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR* )
18	15, 16, 17	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR* )
19		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> +oo e. RR* )
21		xrmax1 12006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ y e. RR* ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
22	16, 15, 21	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
23		ge0gtmnf 12003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR* /\ 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) -> -oo < if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
24	18, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> -oo < if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
25		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> +oo e. u )
26		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> u = ( y (,] +oo ) )
27	25, 26	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> +oo e. ( y (,] +oo ) )
28		elioc1 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( +oo e. ( y (,] +oo ) <-> ( +oo e. RR* /\ y < +oo /\ +oo <_ +oo ) ) )
29	15, 19, 28	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. ( y (,] +oo ) <-> ( +oo e. RR* /\ y < +oo /\ +oo <_ +oo ) ) )
30	27, 29	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> ( +oo e. RR* /\ y < +oo /\ +oo <_ +oo ) )
31	30	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> y < +oo )
32		0ltpnf 11956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < +oo
33		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( 0 <_ y , y , 0 ) -> ( y < +oo <-> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < +oo ) )
34		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 = if ( 0 <_ y , y , 0 ) -> ( 0 < +oo <-> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < +oo ) )
35	33, 34	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y < +oo /\ 0 < +oo ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < +oo )
36	31, 32, 35	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < +oo )
37		xrre2 12001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( -oo < if ( 0 <_ y , y , 0 ) /\ if ( 0 <_ y , y , 0 ) < +oo ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
38	14, 18, 20, 24, 36, 37	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
39		xrmax2 12007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ y e. RR* ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
40	16, 15, 39	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
41		df-ioc 12180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (,] = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { c e. RR* | ( a < c /\ c <_ b ) } )
42		xrlelttr 11987	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR* /\ if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) /\ if ( 0 <_ y , y , 0 ) < x ) -> y < x ) )
43	41, 41, 42	ixxss1 12193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR* /\ y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) -> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) C_ ( y (,] +oo ) )
44	15, 40, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) C_ ( y (,] +oo ) )
45		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> u C_ A )
46	26, 45	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> ( y (,] +oo ) C_ A )
47	44, 46	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) C_ A )
48		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = if ( 0 <_ y , y , 0 ) -> ( x (,] +oo ) = ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) )
49	48	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = if ( 0 <_ y , y , 0 ) -> ( ( x (,] +oo ) C_ A <-> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) C_ A ) )
50	49	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR /\ ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) (,] +oo ) C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )
51	38, 47, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) /\ ( y e. RR* /\ u = ( y (,] +oo ) ) ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )
52	51	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> ( E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
53	52	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. RR* u = ( y (,] +oo ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
54	12, 53	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) = ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) )
56	55	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. _V -> ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) <-> E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) ) )
57	9, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) <-> E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) )
58		pnfnlt 11962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> -. +oo < y )
59		elico1 12218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( +oo e. ( -oo [,) y ) <-> ( +oo e. RR* /\ -oo <_ +oo /\ +oo < y ) ) )
60	13, 59	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR* -> ( +oo e. ( -oo [,) y ) <-> ( +oo e. RR* /\ -oo <_ +oo /\ +oo < y ) ) )
61		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo <_ +oo /\ +oo < y ) -> +oo < y )
62	60, 61	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> ( +oo e. ( -oo [,) y ) -> +oo < y ) )
63	58, 62	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR* -> -. +oo e. ( -oo [,) y ) )
64		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( -oo [,) y ) -> ( +oo e. u <-> +oo e. ( -oo [,) y ) ) )
65	64	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( -oo [,) y ) -> ( -. +oo e. u <-> -. +oo e. ( -oo [,) y ) ) )
66	63, 65	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR* -> ( u = ( -oo [,) y ) -> -. +oo e. u ) )
67	66	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) -> -. +oo e. u )
68	67	pm2.21d 118	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) -> ( +oo e. u -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
69	68	adantrd 484	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. RR* u = ( -oo [,) y ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
70	57, 69	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
71	54, 70	jaoi 394	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) \/ u e. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
72	8, 71	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
73		pnfnre 10081	. . . . . . . . . 10 |- +oo e/ RR
74	73	neli 2899	. . . . . . . . 9 |- -. +oo e. RR
75		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ran (,) -> u C_ U. ran (,) )
76		unirnioo 12273	. . . . . . . . . . 11 |- RR = U. ran (,)
77	75, 76	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ran (,) -> u C_ RR )
78	77	sseld 3602	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran (,) -> ( +oo e. u -> +oo e. RR ) )
79	74, 78	mtoi 190	. . . . . . . 8 |- ( u e. ran (,) -> -. +oo e. u )
80	79	pm2.21d 118	. . . . . . 7 |- ( u e. ran (,) -> ( +oo e. u -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
81	80	adantrd 484	. . . . . 6 |- ( u e. ran (,) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
82	72, 81	jaoi 394	. . . . 5 |- ( ( u e. ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) \/ u e. ran (,) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
83	7, 82	sylbi 207	. . . 4 |- ( u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) -> ( ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A ) )
84	83	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. u e. ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ( +oo e. u /\ u C_ A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )
85	6, 84	syl 17	. 2 |- ( ( A e. ( topGen ` ( ( ran ( y e. RR* |-> ( y (,] +oo ) ) u. ran ( y e. RR* |-> ( -oo [,) y ) ) ) u. ran (,) ) ) /\ +oo e. A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )
86	5, 85	sylanb 489	1 |- ( ( A e. (ordTop ` <_ ) /\ +oo e. A ) -> E. x e. RR ( x (,] +oo ) C_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,)cico 12177   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  xrge0tsms  22637  xrlimcnp  24695  xrge0tsmsd  29785  pnfneige0  29997  xlimpnfvlem2  40063