Theorem xrsdsreclblem 19792

Description: Lemma for xrsdsreclb 19793. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	|- D = ( dist ` RR*s )

Assertion

Ref	Expression
xrsdsreclblem	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A =/= B ) /\ A <_ B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )

Proof of Theorem xrsdsreclblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2847	. . . . 5 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
2		xrleltne 11978	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B =/= A ) )
3		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo e. RR* )
5		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A e. RR* )
6		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B e. RR* )
7		pnfnre 10081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e/ RR
8	7	neli 2899	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. +oo e. RR
9		mnfle 11969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo <_ A )
11		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A < B )
12	4, 5, 6, 10, 11	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < B )
13		xrltne 11994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ B e. RR* /\ -oo < B ) -> B =/= -oo )
14	4, 6, 12, 13	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B =/= -oo )
15		xaddpnf1 12057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
16	6, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B +e +oo ) = +oo )
17	16	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( ( B +e +oo ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
18	8, 17	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -. ( B +e +oo ) e. RR )
19		ngtmnft 11997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
20	5, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B +e -e A ) e. RR )
22		xnegeq 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A = -oo -> -e A = -e -oo )
23		xnegmnf 12041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -e -oo = +oo
24	22, 23	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = -oo -> -e A = +oo )
25	24	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = -oo -> ( B +e -e A ) = ( B +e +oo ) )
26	25	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = -oo -> ( ( B +e -e A ) e. RR <-> ( B +e +oo ) e. RR ) )
27	21, 26	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A = -oo -> ( B +e +oo ) e. RR ) )
28	20, 27	sylbird 250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( -. -oo < A -> ( B +e +oo ) e. RR ) )
29	18, 28	mt3d 140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < A )
30		xrre2 12001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( -oo < A /\ A < B ) ) -> A e. RR )
31	4, 5, 6, 29, 11, 30	syl32anc 1334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A e. RR )
32		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> +oo e. RR* )
34	5	xnegcld 12130	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e A e. RR* )
35		xnegpnf 12040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -e +oo = -oo
36		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
37	6, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B <_ +oo )
38	5, 6, 33, 11, 37	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> A < +oo )
39		xltnegi 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* /\ A < +oo ) -> -e +oo < -e A )
40	5, 33, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e +oo < -e A )
41	35, 40	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -oo < -e A )
42		xrltne 11994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo e. RR* /\ -e A e. RR* /\ -oo < -e A ) -> -e A =/= -oo )
43	4, 34, 41, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -e A =/= -oo )
44		xaddpnf2 12058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e A =/= -oo ) -> ( +oo +e -e A ) = +oo )
45	34, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( +oo +e -e A ) = +oo )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( ( +oo +e -e A ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
47	8, 46	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> -. ( +oo +e -e A ) e. RR )
48		nltpnft 11995	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR* -> ( B = +oo <-> -. B < +oo ) )
49	6, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B = +oo <-> -. B < +oo ) )
50		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B = +oo -> ( B +e -e A ) = ( +oo +e -e A ) )
51	50	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = +oo -> ( ( B +e -e A ) e. RR <-> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
52	21, 51	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( B = +oo -> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
53	49, 52	sylbird 250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( -. B < +oo -> ( +oo +e -e A ) e. RR ) )
54	47, 53	mt3d 140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B < +oo )
55		xrre2 12001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( A < B /\ B < +oo ) ) -> B e. RR )
56	5, 6, 33, 11, 54, 55	syl32anc 1334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> B e. RR )
57	31, 56	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) /\ ( B +e -e A ) e. RR ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
58	57	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )
59	58	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
60	59	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A < B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
61	2, 60	sylbird 250	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( B =/= A -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
62	1, 61	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( A =/= B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) )
63	62	3exp 1264	. . 3 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A <_ B -> ( A =/= B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) ) ) )
64	63	com34 91	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. RR* -> ( A =/= B -> ( A <_ B -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) ) ) ) )
65	64	3imp1 1280	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A =/= B ) /\ A <_ B ) -> ( ( B +e -e A ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ecxne 11943   +ecxad 11944   distcds 15950   RR*scxrs 16160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-xneg 11946  df-xadd 11947

This theorem is referenced by:  xrsdsreclb  19793