Theorem ltxrlt 10108

Description: The standard less-than <RR and the extended real less-than < are identical when restricted to the non-extended reals RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltxrlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A <RR B ) )

Proof of Theorem ltxrlt

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brun 4703	. . . . 5 |- ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B <-> ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B \/ A ( { -oo } X. RR ) B ) )
2		brxp 5147	. . . . . . 7 |- ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B <-> ( A e. ( RR u. { -oo } ) /\ B e. { +oo } ) )
3		elsni 4194	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { +oo } -> B = +oo )
4		pnfnre 10081	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e/ RR
5	4	neli 2899	. . . . . . . . . 10 |- -. +oo e. RR
6		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
7		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = +oo -> ( B e. RR <-> +oo e. RR ) )
8	6, 7	syl5ib 234	. . . . . . . . . 10 |- ( B = +oo -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> +oo e. RR ) )
9	5, 8	mtoi 190	. . . . . . . . 9 |- ( B = +oo -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. { +oo } -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( RR u. { -oo } ) /\ B e. { +oo } ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
12	2, 11	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
13		brxp 5147	. . . . . . 7 |- ( A ( { -oo } X. RR ) B <-> ( A e. { -oo } /\ B e. RR ) )
14		elsni 4194	. . . . . . . . 9 |- ( A e. { -oo } -> A = -oo )
15		mnfnre 10082	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e/ RR
16	15	neli 2899	. . . . . . . . . 10 |- -. -oo e. RR
17		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
18		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
19	17, 18	syl5ib 234	. . . . . . . . . 10 |- ( A = -oo -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -oo e. RR ) )
20	16, 19	mtoi 190	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. { -oo } -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. { -oo } /\ B e. RR ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
23	13, 22	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A ( { -oo } X. RR ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
24	12, 23	jaoi 394	. . . . 5 |- ( ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B \/ A ( { -oo } X. RR ) B ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
25	1, 24	sylbi 207	. . . 4 |- ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
26	25	con2i 134	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B )
27		biimt 350	. . . 4 |- ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> ( A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) ) )
28		df-ltxr 10079	. . . . . . 7 |- < = ( { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } u. ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) )
29	28	equncomi 3759	. . . . . 6 |- < = ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } )
30	29	breqi 4659	. . . . 5 |- ( A < B <-> A ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } ) B )
31		brun 4703	. . . . 5 |- ( A ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } ) B <-> ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B \/ A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
32		df-or 385	. . . . 5 |- ( ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B \/ A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
33	30, 31, 32	3bitri 286	. . . 4 |- ( A < B <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
34	27, 33	syl6rbbr 279	. . 3 |- ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> ( A < B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
35	26, 34	syl 17	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
36		breq12 4658	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( x <RR y <-> A <RR B ) )
37		df-3an 1039	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) <-> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ x <RR y ) )
38	37	opabbii 4717	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ x <RR y ) }
39	36, 38	brab2a 5194	. . 3 |- ( A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B <-> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <RR B ) )
40	39	baibr 945	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <RR B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
41	35, 40	bitr4d 271	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A <RR B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   {csn 4177   class class class wbr 4653   {copab 4712   X. cxp 5112   RRcr 9935   <RR cltrr 9940   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  axlttri  10109  axlttrn  10110  axltadd  10111  axmulgt0  10112  axsup  10113