Theorem wfrlem4 7418

Description: Lemma for well-founded recursion. Properties of the restriction of an acceptable function to the domain of another one. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfrlem4.1	|- R We A
wfrlem4.2	|- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
wfrlem4	|- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) Fn ( dom g i^i dom h ) /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( F ` ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, f, g, h, x, y   B, a   F, a, f, g, h, x, y   R, a, f, g, h, x, y

Allowed substitution hints:   B( x, y, f, g, h)

Proof of Theorem wfrlem4

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfrlem4.2	. . . . . 6 |- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
2	1	wfrlem2 7415	. . . . 5 |- ( g e. B -> Fun g )
3		funfn 5918	. . . . 5 |- ( Fun g <-> g Fn dom g )
4	2, 3	sylib 208	. . . 4 |- ( g e. B -> g Fn dom g )
5		fnresin1 6005	. . . 4 |- ( g Fn dom g -> ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) Fn ( dom g i^i dom h ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( g e. B -> ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) Fn ( dom g i^i dom h ) )
7	6	adantr 481	. 2 |- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) Fn ( dom g i^i dom h ) )
8		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( dom g i^i dom h ) C_ dom g
9	8	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( a e. ( dom g i^i dom h ) -> a e. dom g )
10	1	wfrlem1 7414	. . . . . . . . 9 |- B = { g | E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) }
11	10	abeq2i 2735	. . . . . . . 8 |- ( g e. B <-> E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
12		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g Fn b -> dom g = b )
13	12	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g Fn b -> ( A. a e. dom g ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) <-> A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
14	13	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g Fn b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) -> A. a e. dom g ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) )
15		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. a e. dom g ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) -> ( a e. dom g -> ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g Fn b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) -> ( a e. dom g -> ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
17	16	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) -> ( a e. dom g -> ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
18	17	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 |- ( E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) -> ( a e. dom g -> ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
19	11, 18	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( g e. B -> ( a e. dom g -> ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
20	9, 19	syl5 34	. . . . . 6 |- ( g e. B -> ( a e. ( dom g i^i dom h ) -> ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
21	20	imp 445	. . . . 5 |- ( ( g e. B /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) )
22	21	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) )
23		fvres 6207	. . . . 5 |- ( a e. ( dom g i^i dom h ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( g ` a ) )
24	23	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( g ` a ) )
25		resres 5409	. . . . . 6 |- ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) = ( g |` ( ( dom g i^i dom h ) i^i Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) )
26		predss 5687	. . . . . . . . 9 |- Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) C_ ( dom g i^i dom h )
27		sseqin2 3817	. . . . . . . . 9 |- ( Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) <-> ( ( dom g i^i dom h ) i^i Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) = Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) )
28	26, 27	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( ( dom g i^i dom h ) i^i Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) = Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a )
29	1	wfrlem1 7414	. . . . . . . . . . . 12 |- B = { h | E. c ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) }
30	29	abeq2i 2735	. . . . . . . . . . 11 |- ( h e. B <-> E. c ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
31		3an6 1409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g Fn b /\ h Fn c ) /\ ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) /\ ( A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) <-> ( ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) )
32	31	2exbii 1775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. b E. c ( ( g Fn b /\ h Fn c ) /\ ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) /\ ( A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) <-> E. b E. c ( ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) )
33		eeanv 2182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. b E. c ( ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) <-> ( E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ E. c ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) )
34	32, 33	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. b E. c ( ( g Fn b /\ h Fn c ) /\ ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) /\ ( A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) <-> ( E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ E. c ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) )
35		ssinss1 3841	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b C_ A -> ( b i^i c ) C_ A )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) -> ( b i^i c ) C_ A )
37		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ a A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b
38		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ a A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c
39	37, 38	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ a ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c )
40		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b i^i c ) C_ b
41	40	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a e. ( b i^i c ) -> a e. b )
42		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b -> ( a e. b -> Pred ( R , A , a ) C_ b ) )
43	41, 42	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a e. ( b i^i c ) -> ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b -> Pred ( R , A , a ) C_ b ) )
44		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b i^i c ) C_ c
45	44	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a e. ( b i^i c ) -> a e. c )
46		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c -> ( a e. c -> Pred ( R , A , a ) C_ c ) )
47	45, 46	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a e. ( b i^i c ) -> ( A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c -> Pred ( R , A , a ) C_ c ) )
48	43, 47	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. ( b i^i c ) -> ( ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) -> ( Pred ( R , A , a ) C_ b /\ Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) )
49		ssin 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Pred ( R , A , a ) C_ b /\ Pred ( R , A , a ) C_ c ) <-> Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) )
50	49	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Pred ( R , A , a ) C_ b /\ Pred ( R , A , a ) C_ c ) -> Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) )
51	48, 50	syl6com 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) -> ( a e. ( b i^i c ) -> Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) )
52	39, 51	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) -> A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) )
53	52	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) -> A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) )
54	36, 53	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) -> ( ( b i^i c ) C_ A /\ A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) )
55		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h Fn c -> dom h = c )
56	12, 55	ineqan12d 3816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g Fn b /\ h Fn c ) -> ( dom g i^i dom h ) = ( b i^i c ) )
57		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom g i^i dom h ) = ( b i^i c ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A <-> ( b i^i c ) C_ A ) )
58		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( dom g i^i dom h ) = ( b i^i c ) -> ( Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) <-> Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) )
59	58	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom g i^i dom h ) = ( b i^i c ) -> ( A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) <-> A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) )
60	57, 59	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( dom g i^i dom h ) = ( b i^i c ) -> ( ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) <-> ( ( b i^i c ) C_ A /\ A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) ) )
61	60	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( dom g i^i dom h ) = ( b i^i c ) -> ( ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) ) <-> ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) -> ( ( b i^i c ) C_ A /\ A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) ) ) )
62	56, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g Fn b /\ h Fn c ) -> ( ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) ) <-> ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) -> ( ( b i^i c ) C_ A /\ A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) ) ) )
63	54, 62	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g Fn b /\ h Fn c ) -> ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) ) )
64	63	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g Fn b /\ h Fn c ) /\ ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
65	64	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g Fn b /\ h Fn c ) /\ ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) /\ ( A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
66	65	exlimivv 1860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. b E. c ( ( g Fn b /\ h Fn c ) /\ ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) /\ ( A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
67	34, 66	sylbir 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b ) /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ E. c ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( F ` ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
68	11, 30, 67	syl2anb 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
70		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> a e. ( dom g i^i dom h ) )
71		preddowncl 5707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) -> ( a e. ( dom g i^i dom h ) -> Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) = Pred ( R , A , a ) ) )
72	69, 70, 71	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) = Pred ( R , A , a ) )
73	28, 72	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) i^i Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) = Pred ( R , A , a ) )
74	73	reseq2d 5396	. . . . . 6 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( g |` ( ( dom g i^i dom h ) i^i Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) = ( g |` Pred ( R , A , a ) ) )
75	25, 74	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) = ( g |` Pred ( R , A , a ) ) )
76	75	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( F ` ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) = ( F ` ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) )
77	22, 24, 76	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( F ` ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) )
78	77	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> A. a e. ( dom g i^i dom h ) ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( F ` ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) )
79	7, 78	jca 554	1 |- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) Fn ( dom g i^i dom h ) /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( F ` ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   We wwe 5072   dom cdm 5114   |` cres 5116   Predcpred 5679   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  wfrlem5  7419