Theorem elpredim 5692

Description: Membership in a predecessor class - implicative version. (Contributed by Scott Fenton, 9-May-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
elpredim.1	|- X e. _V

Assertion

Ref	Expression
elpredim	|- ( Y e. Pred ( R , A , X ) -> Y R X )

Proof of Theorem elpredim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pred 5680	. . 3 |- Pred ( R , A , X ) = ( A i^i ( `' R " { X } ) )
2	1	elin2 3801	. 2 |- ( Y e. Pred ( R , A , X ) <-> ( Y e. A /\ Y e. ( `' R " { X } ) ) )
3		elpredim.1	. . . . 5 |- X e. _V
4		elimasng 5491	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ Y e. ( `' R " { X } ) ) -> ( Y e. ( `' R " { X } ) <-> <. X , Y >. e. `' R ) )
5		opelcnvg 5302	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ Y e. ( `' R " { X } ) ) -> ( <. X , Y >. e. `' R <-> <. Y , X >. e. R ) )
6	4, 5	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. ( `' R " { X } ) ) -> ( Y e. ( `' R " { X } ) <-> <. Y , X >. e. R ) )
7	3, 6	mpan 706	. . . 4 |- ( Y e. ( `' R " { X } ) -> ( Y e. ( `' R " { X } ) <-> <. Y , X >. e. R ) )
8	7	ibi 256	. . 3 |- ( Y e. ( `' R " { X } ) -> <. Y , X >. e. R )
9		df-br 4654	. . 3 |- ( Y R X <-> <. Y , X >. e. R )
10	8, 9	sylibr 224	. 2 |- ( Y e. ( `' R " { X } ) -> Y R X )
11	2, 10	simplbiim 659	1 |- ( Y e. Pred ( R , A , X ) -> Y R X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   Predcpred 5679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680

This theorem is referenced by:  predbrg  5700  preddowncl  5707  trpredrec  31738