Theorem projf1o 39386

Description: A biijection from a set to a projection in a two dimensional space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
projf1o.1	|- ( ph -> A e. V )
projf1o.2	|- F = ( x e. B |-> <. A , x >. )

Assertion

Ref	Expression
projf1o	|- ( ph -> F : B -1-1-onto-> ( { A } X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem projf1o

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projf1o.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. V )
2		snidg 4206	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> A e. { A } )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. { A } )
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> A e. { A } )
5		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. B )
6		opelxpi 5148	. . . . . . 7 |- ( ( A e. { A } /\ y e. B ) -> <. A , y >. e. ( { A } X. B ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> <. A , y >. e. ( { A } X. B ) )
8		projf1o.2	. . . . . . 7 |- F = ( x e. B |-> <. A , x >. )
9		opeq2 4403	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> <. A , x >. = <. A , y >. )
10	9	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( x e. B |-> <. A , x >. ) = ( y e. B |-> <. A , y >. )
11	8, 10	eqtri 2644	. . . . . 6 |- F = ( y e. B |-> <. A , y >. )
12	7, 11	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> F : B --> ( { A } X. B ) )
13		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> ph )
14	7	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> <. A , y >. e. _V )
15	11	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. B /\ <. A , y >. e. _V ) -> ( F ` y ) = <. A , y >. )
16	5, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( F ` y ) = <. A , y >. )
17	16	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> <. A , y >. = ( F ` y ) )
18	17	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) -> <. A , y >. = ( F ` y ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> <. A , y >. = ( F ` y ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
21	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> F = ( y e. B |-> <. A , y >. ) )
22		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> <. A , y >. = <. A , z >. )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. B ) /\ y = z ) -> <. A , y >. = <. A , z >. )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> z e. B )
25		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. A , z >. e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> <. A , z >. e. _V )
27	21, 23, 24, 26	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( F ` z ) = <. A , z >. )
28	27	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( F ` z ) = <. A , z >. )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> ( F ` z ) = <. A , z >. )
30	19, 20, 29	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> <. A , y >. = <. A , z >. )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ <. A , y >. = <. A , z >. ) -> <. A , y >. = <. A , z >. )
32		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> z e. _V )
34		opthg2 4948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ z e. _V ) -> ( <. A , y >. = <. A , z >. <-> ( A = A /\ y = z ) ) )
35	1, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( <. A , y >. = <. A , z >. <-> ( A = A /\ y = z ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ <. A , y >. = <. A , z >. ) -> ( <. A , y >. = <. A , z >. <-> ( A = A /\ y = z ) ) )
37	31, 36	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ <. A , y >. = <. A , z >. ) -> ( A = A /\ y = z ) )
38	37	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ <. A , y >. = <. A , z >. ) -> y = z )
39	13, 30, 38	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> y = z )
40	39	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
41	40	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
42	41	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. B A. z e. B ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
43	12, 42	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( F : B --> ( { A } X. B ) /\ A. y e. B A. z e. B ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
44		dff13 6512	. . . 4 |- ( F : B -1-1-> ( { A } X. B ) <-> ( F : B --> ( { A } X. B ) /\ A. y e. B A. z e. B ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
45	43, 44	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> F : B -1-1-> ( { A } X. B ) )
46		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( { A } X. B ) ) -> z e. ( { A } X. B ) )
47		elsnxp 5677	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( z e. ( { A } X. B ) <-> E. y e. B z = <. A , y >. ) )
48	1, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. ( { A } X. B ) <-> E. y e. B z = <. A , y >. ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( { A } X. B ) ) -> ( z e. ( { A } X. B ) <-> E. y e. B z = <. A , y >. ) )
50	46, 49	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( { A } X. B ) ) -> E. y e. B z = <. A , y >. )
51	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ z = <. A , y >. ) -> ( F ` y ) = <. A , y >. )
52		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = <. A , y >. -> z = <. A , y >. )
53	52	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. A , y >. -> <. A , y >. = z )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ z = <. A , y >. ) -> <. A , y >. = z )
55	51, 54	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ z = <. A , y >. ) -> z = ( F ` y ) )
56	55	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( z = <. A , y >. -> z = ( F ` y ) ) )
57	56	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. ( { A } X. B ) ) /\ y e. B ) -> ( z = <. A , y >. -> z = ( F ` y ) ) )
58	57	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( { A } X. B ) ) -> ( E. y e. B z = <. A , y >. -> E. y e. B z = ( F ` y ) ) )
59	50, 58	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( { A } X. B ) ) -> E. y e. B z = ( F ` y ) )
60	59	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. z e. ( { A } X. B ) E. y e. B z = ( F ` y ) )
61	12, 60	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( F : B --> ( { A } X. B ) /\ A. z e. ( { A } X. B ) E. y e. B z = ( F ` y ) ) )
62		dffo3 6374	. . . 4 |- ( F : B -onto-> ( { A } X. B ) <-> ( F : B --> ( { A } X. B ) /\ A. z e. ( { A } X. B ) E. y e. B z = ( F ` y ) ) )
63	61, 62	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> F : B -onto-> ( { A } X. B ) )
64	45, 63	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( F : B -1-1-> ( { A } X. B ) /\ F : B -onto-> ( { A } X. B ) ) )
65		df-f1o 5895	. 2 |- ( F : B -1-1-onto-> ( { A } X. B ) <-> ( F : B -1-1-> ( { A } X. B ) /\ F : B -onto-> ( { A } X. B ) ) )
66	64, 65	sylibr 224	1 |- ( ph -> F : B -1-1-onto-> ( { A } X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  sge0xp  40646