Theorem psss 17214

Description: Any subset of a partially ordered set is partially ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
psss	|- ( R e. PosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel )

Proof of Theorem psss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . 3 |- ( R i^i ( A X. A ) ) C_ R
2		psrel 17203	. . 3 |- ( R e. PosetRel -> Rel R )
3		relss 5206	. . 3 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) C_ R -> ( Rel R -> Rel ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
4	1, 2, 3	mpsyl 68	. 2 |- ( R e. PosetRel -> Rel ( R i^i ( A X. A ) ) )
5		pstr2 17205	. . 3 |- ( R e. PosetRel -> ( R o. R ) C_ R )
6		trinxp 5521	. . 3 |- ( ( R o. R ) C_ R -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) o. ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( R i^i ( A X. A ) ) )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( R e. PosetRel -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) o. ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( R i^i ( A X. A ) ) )
8		uniin 4457	. . . . . 6 |- U. ( R i^i ( A X. A ) ) C_ ( U. R i^i U. ( A X. A ) )
9	8	unissi 4461	. . . . 5 |- U. U. ( R i^i ( A X. A ) ) C_ U. ( U. R i^i U. ( A X. A ) )
10		uniin 4457	. . . . 5 |- U. ( U. R i^i U. ( A X. A ) ) C_ ( U. U. R i^i U. U. ( A X. A ) )
11	9, 10	sstri 3612	. . . 4 |- U. U. ( R i^i ( A X. A ) ) C_ ( U. U. R i^i U. U. ( A X. A ) )
12		elin 3796	. . . . . 6 |- ( x e. ( U. U. R i^i U. U. ( A X. A ) ) <-> ( x e. U. U. R /\ x e. U. U. ( A X. A ) ) )
13		unixpid 5670	. . . . . . . . 9 |- U. U. ( A X. A ) = A
14	13	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. U. ( A X. A ) <-> x e. A )
15		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( x e. U. U. R /\ x e. A ) ) -> x e. A )
16		psdmrn 17207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. PosetRel -> ( dom R = U. U. R /\ ran R = U. U. R ) )
17	16	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. PosetRel -> dom R = U. U. R )
18	17	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. PosetRel -> ( x e. dom R <-> x e. U. U. R ) )
19	18	biimpar 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. PosetRel /\ x e. U. U. R ) -> x e. dom R )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom R = dom R
21	20	psref 17208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) -> x R x )
22	19, 21	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. PosetRel /\ x e. U. U. R ) -> x R x )
23	22	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( x e. U. U. R /\ x e. A ) ) -> x R x )
24		brinxp2 5180	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( R i^i ( A X. A ) ) x <-> ( x e. A /\ x e. A /\ x R x ) )
25	15, 15, 23, 24	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. PosetRel /\ ( x e. U. U. R /\ x e. A ) ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) x )
26	25	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. PosetRel /\ x e. U. U. R ) -> ( x e. A -> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
27	14, 26	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( R e. PosetRel /\ x e. U. U. R ) -> ( x e. U. U. ( A X. A ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
28	27	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( R e. PosetRel -> ( ( x e. U. U. R /\ x e. U. U. ( A X. A ) ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
29	12, 28	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( R e. PosetRel -> ( x e. ( U. U. R i^i U. U. ( A X. A ) ) -> x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
30	29	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( R e. PosetRel -> A. x e. ( U. U. R i^i U. U. ( A X. A ) ) x ( R i^i ( A X. A ) ) x )
31		ssralv 3666	. . . 4 |- ( U. U. ( R i^i ( A X. A ) ) C_ ( U. U. R i^i U. U. ( A X. A ) ) -> ( A. x e. ( U. U. R i^i U. U. ( A X. A ) ) x ( R i^i ( A X. A ) ) x -> A. x e. U. U. ( R i^i ( A X. A ) ) x ( R i^i ( A X. A ) ) x ) )
32	11, 30, 31	mpsyl 68	. . 3 |- ( R e. PosetRel -> A. x e. U. U. ( R i^i ( A X. A ) ) x ( R i^i ( A X. A ) ) x )
33	1	ssbri 4697	. . . . 5 |- ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y -> x R y )
34	1	ssbri 4697	. . . . 5 |- ( y ( R i^i ( A X. A ) ) x -> y R x )
35		psasym 17210	. . . . . 6 |- ( ( R e. PosetRel /\ x R y /\ y R x ) -> x = y )
36	35	3expib 1268	. . . . 5 |- ( R e. PosetRel -> ( ( x R y /\ y R x ) -> x = y ) )
37	33, 34, 36	syl2ani 688	. . . 4 |- ( R e. PosetRel -> ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) x ) -> x = y ) )
38	37	alrimivv 1856	. . 3 |- ( R e. PosetRel -> A. x A. y ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) x ) -> x = y ) )
39		asymref2 5513	. . 3 |- ( ( ( R i^i ( A X. A ) ) i^i `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( _I |` U. U. ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. x e. U. U. ( R i^i ( A X. A ) ) x ( R i^i ( A X. A ) ) x /\ A. x A. y ( ( x ( R i^i ( A X. A ) ) y /\ y ( R i^i ( A X. A ) ) x ) -> x = y ) ) )
40	32, 38, 39	sylanbrc 698	. 2 |- ( R e. PosetRel -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) i^i `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( _I |` U. U. ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
41		inex1g 4801	. . 3 |- ( R e. PosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
42		isps 17202	. . 3 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel <-> ( Rel ( R i^i ( A X. A ) ) /\ ( ( R i^i ( A X. A ) ) o. ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( R i^i ( A X. A ) ) /\ ( ( R i^i ( A X. A ) ) i^i `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( _I |` U. U. ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) ) )
43	41, 42	syl 17	. 2 |- ( R e. PosetRel -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel <-> ( Rel ( R i^i ( A X. A ) ) /\ ( ( R i^i ( A X. A ) ) o. ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( R i^i ( A X. A ) ) /\ ( ( R i^i ( A X. A ) ) i^i `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( _I |` U. U. ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) ) )
44	4, 7, 40, 43	mpbir3and 1245	1 |- ( R e. PosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   PosetRelcps 17198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ps 17200

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