Theorem prsiga 30194

Description: The smallest possible sigma-algebra containing O. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prsiga	|- ( O e. V -> { (/) , O } e. (sigAlgebra ` O ) )

Proof of Theorem prsiga

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 4834	. . 3 |- (/) e. ~P O
2		pwidg 4173	. . 3 |- ( O e. V -> O e. ~P O )
3		prssi 4353	. . 3 |- ( ( (/) e. ~P O /\ O e. ~P O ) -> { (/) , O } C_ ~P O )
4	1, 2, 3	sylancr 695	. 2 |- ( O e. V -> { (/) , O } C_ ~P O )
5		prid2g 4296	. . 3 |- ( O e. V -> O e. { (/) , O } )
6		dif0 3950	. . . . 5 |- ( O \ (/) ) = O
7	6, 5	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( O e. V -> ( O \ (/) ) e. { (/) , O } )
8		difid 3948	. . . . 5 |- ( O \ O ) = (/)
9		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
10	9	prid1 4297	. . . . . 6 |- (/) e. { (/) , O }
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( O e. V -> (/) e. { (/) , O } )
12	8, 11	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( O e. V -> ( O \ O ) e. { (/) , O } )
13		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( O \ x ) = ( O \ (/) ) )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( O \ x ) e. { (/) , O } <-> ( O \ (/) ) e. { (/) , O } ) )
15		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( x = O -> ( O \ x ) = ( O \ O ) )
16	15	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = O -> ( ( O \ x ) e. { (/) , O } <-> ( O \ O ) e. { (/) , O } ) )
17	14, 16	ralprg 4234	. . . . 5 |- ( ( (/) e. _V /\ O e. V ) -> ( A. x e. { (/) , O } ( O \ x ) e. { (/) , O } <-> ( ( O \ (/) ) e. { (/) , O } /\ ( O \ O ) e. { (/) , O } ) ) )
18	9, 17	mpan 706	. . . 4 |- ( O e. V -> ( A. x e. { (/) , O } ( O \ x ) e. { (/) , O } <-> ( ( O \ (/) ) e. { (/) , O } /\ ( O \ O ) e. { (/) , O } ) ) )
19	7, 12, 18	mpbir2and 957	. . 3 |- ( O e. V -> A. x e. { (/) , O } ( O \ x ) e. { (/) , O } )
20		uni0 4465	. . . . . . . . 9 |- U. (/) = (/)
21	20, 10	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- U. (/) e. { (/) , O }
22	9	unisn 4451	. . . . . . . . 9 |- U. { (/) } = (/)
23	22, 10	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- U. { (/) } e. { (/) , O }
24	21, 23	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( U. (/) e. { (/) , O } /\ U. { (/) } e. { (/) , O } )
25		snex 4908	. . . . . . . . 9 |- { (/) } e. _V
26	9, 25	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V )
27		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> U. x = U. (/) )
28	27	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( U. x e. { (/) , O } <-> U. (/) e. { (/) , O } ) )
29		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { (/) } -> U. x = U. { (/) } )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) } -> ( U. x e. { (/) , O } <-> U. { (/) } e. { (/) , O } ) )
31	28, 30	ralprg 4234	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( A. x e. { (/) , { (/) } } U. x e. { (/) , O } <-> ( U. (/) e. { (/) , O } /\ U. { (/) } e. { (/) , O } ) ) )
32	26, 31	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( O e. V -> ( A. x e. { (/) , { (/) } } U. x e. { (/) , O } <-> ( U. (/) e. { (/) , O } /\ U. { (/) } e. { (/) , O } ) ) )
33	24, 32	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( O e. V -> A. x e. { (/) , { (/) } } U. x e. { (/) , O } )
34		unisng 4452	. . . . . . . 8 |- ( O e. V -> U. { O } = O )
35	34, 5	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( O e. V -> U. { O } e. { (/) , O } )
36		uniprg 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. _V /\ O e. V ) -> U. { (/) , O } = ( (/) u. O ) )
37	9, 36	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( O e. V -> U. { (/) , O } = ( (/) u. O ) )
38		uncom 3757	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) u. O ) = ( O u. (/) )
39		un0 3967	. . . . . . . . . 10 |- ( O u. (/) ) = O
40	38, 39	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( (/) u. O ) = O
41	37, 40	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( O e. V -> U. { (/) , O } = O )
42	41, 5	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( O e. V -> U. { (/) , O } e. { (/) , O } )
43		snex 4908	. . . . . . . . 9 |- { O } e. _V
44		prex 4909	. . . . . . . . 9 |- { (/) , O } e. _V
45	43, 44	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( { O } e. _V /\ { (/) , O } e. _V )
46		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { O } -> U. x = U. { O } )
47	46	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = { O } -> ( U. x e. { (/) , O } <-> U. { O } e. { (/) , O } ) )
48		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { (/) , O } -> U. x = U. { (/) , O } )
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = { (/) , O } -> ( U. x e. { (/) , O } <-> U. { (/) , O } e. { (/) , O } ) )
50	47, 49	ralprg 4234	. . . . . . . 8 |- ( ( { O } e. _V /\ { (/) , O } e. _V ) -> ( A. x e. { { O } , { (/) , O } } U. x e. { (/) , O } <-> ( U. { O } e. { (/) , O } /\ U. { (/) , O } e. { (/) , O } ) ) )
51	45, 50	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( O e. V -> ( A. x e. { { O } , { (/) , O } } U. x e. { (/) , O } <-> ( U. { O } e. { (/) , O } /\ U. { (/) , O } e. { (/) , O } ) ) )
52	35, 42, 51	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( O e. V -> A. x e. { { O } , { (/) , O } } U. x e. { (/) , O } )
53		ralun 3795	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. { (/) , { (/) } } U. x e. { (/) , O } /\ A. x e. { { O } , { (/) , O } } U. x e. { (/) , O } ) -> A. x e. ( { (/) , { (/) } } u. { { O } , { (/) , O } } ) U. x e. { (/) , O } )
54	33, 52, 53	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( O e. V -> A. x e. ( { (/) , { (/) } } u. { { O } , { (/) , O } } ) U. x e. { (/) , O } )
55		pwpr 4430	. . . . . 6 |- ~P { (/) , O } = ( { (/) , { (/) } } u. { { O } , { (/) , O } } )
56	55	raleqi 3142	. . . . 5 |- ( A. x e. ~P { (/) , O } U. x e. { (/) , O } <-> A. x e. ( { (/) , { (/) } } u. { { O } , { (/) , O } } ) U. x e. { (/) , O } )
57	54, 56	sylibr 224	. . . 4 |- ( O e. V -> A. x e. ~P { (/) , O } U. x e. { (/) , O } )
58		ax-1 6	. . . . 5 |- ( U. x e. { (/) , O } -> ( x ~<_ om -> U. x e. { (/) , O } ) )
59	58	ralimi 2952	. . . 4 |- ( A. x e. ~P { (/) , O } U. x e. { (/) , O } -> A. x e. ~P { (/) , O } ( x ~<_ om -> U. x e. { (/) , O } ) )
60	57, 59	syl 17	. . 3 |- ( O e. V -> A. x e. ~P { (/) , O } ( x ~<_ om -> U. x e. { (/) , O } ) )
61	5, 19, 60	3jca 1242	. 2 |- ( O e. V -> ( O e. { (/) , O } /\ A. x e. { (/) , O } ( O \ x ) e. { (/) , O } /\ A. x e. ~P { (/) , O } ( x ~<_ om -> U. x e. { (/) , O } ) ) )
62		issiga 30174	. . 3 |- ( { (/) , O } e. _V -> ( { (/) , O } e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( { (/) , O } C_ ~P O /\ ( O e. { (/) , O } /\ A. x e. { (/) , O } ( O \ x ) e. { (/) , O } /\ A. x e. ~P { (/) , O } ( x ~<_ om -> U. x e. { (/) , O } ) ) ) ) )
63	44, 62	ax-mp 5	. 2 |- ( { (/) , O } e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( { (/) , O } C_ ~P O /\ ( O e. { (/) , O } /\ A. x e. { (/) , O } ( O \ x ) e. { (/) , O } /\ A. x e. ~P { (/) , O } ( x ~<_ om -> U. x e. { (/) , O } ) ) ) )
64	4, 61, 63	sylanbrc 698	1 |- ( O e. V -> { (/) , O } e. (sigAlgebra ` O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-siga 30171

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