Theorem pwssun 5020

Description: The power class of the union of two classes is a subset of the union of their power classes, iff one class is a subclass of the other. Exercise 4.12(l) of [Mendelson] p. 235. (Contributed by NM, 23-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
pwssun	|- ( ( A C_ B \/ B C_ A ) <-> ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) )

Proof of Theorem pwssun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssequn2 3786	. . . . . 6 |- ( B C_ A <-> ( A u. B ) = A )
2		pweq 4161	. . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) = A -> ~P ( A u. B ) = ~P A )
3		eqimss 3657	. . . . . . 7 |- ( ~P ( A u. B ) = ~P A -> ~P ( A u. B ) C_ ~P A )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A u. B ) = A -> ~P ( A u. B ) C_ ~P A )
5	1, 4	sylbi 207	. . . . 5 |- ( B C_ A -> ~P ( A u. B ) C_ ~P A )
6		ssequn1 3783	. . . . . 6 |- ( A C_ B <-> ( A u. B ) = B )
7		pweq 4161	. . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) = B -> ~P ( A u. B ) = ~P B )
8		eqimss 3657	. . . . . . 7 |- ( ~P ( A u. B ) = ~P B -> ~P ( A u. B ) C_ ~P B )
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A u. B ) = B -> ~P ( A u. B ) C_ ~P B )
10	6, 9	sylbi 207	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ~P ( A u. B ) C_ ~P B )
11	5, 10	orim12i 538	. . . 4 |- ( ( B C_ A \/ A C_ B ) -> ( ~P ( A u. B ) C_ ~P A \/ ~P ( A u. B ) C_ ~P B ) )
12	11	orcoms 404	. . 3 |- ( ( A C_ B \/ B C_ A ) -> ( ~P ( A u. B ) C_ ~P A \/ ~P ( A u. B ) C_ ~P B ) )
13		ssun 3792	. . 3 |- ( ( ~P ( A u. B ) C_ ~P A \/ ~P ( A u. B ) C_ ~P B ) -> ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) )
14	12, 13	syl 17	. 2 |- ( ( A C_ B \/ B C_ A ) -> ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) )
15		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- x e. _V
16	15	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A <-> { x } C_ A )
17		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- y e. _V
18	17	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. B <-> { y } C_ B )
19		unss12 3785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { x } C_ A /\ { y } C_ B ) -> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
20	16, 18, 19	syl2anb 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
21		zfpair2 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { x , y } e. _V
22	21	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { x , y } e. ~P ( A u. B ) <-> { x , y } C_ ( A u. B ) )
23		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { x , y } = ( { x } u. { y } )
24	23	sseq1i 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { x , y } C_ ( A u. B ) <-> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) )
25	22, 24	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) <-> { x , y } e. ~P ( A u. B ) )
26	20, 25	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ~P ( A u. B ) )
27		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( { x , y } e. ~P ( A u. B ) -> { x , y } e. ( ~P A u. ~P B ) ) )
28	26, 27	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ( ~P A u. ~P B ) ) )
29	28	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( y e. B -> ( x e. A -> { x , y } e. ( ~P A u. ~P B ) ) ) )
30	29	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ x e. A ) -> { x , y } e. ( ~P A u. ~P B ) )
31		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x , y } e. ( ~P A u. ~P B ) <-> ( { x , y } e. ~P A \/ { x , y } e. ~P B ) )
32	30, 31	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ x e. A ) -> ( { x , y } e. ~P A \/ { x , y } e. ~P B ) )
33	21	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { x , y } e. ~P A <-> { x , y } C_ A )
34	15, 17	prss 4351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> { x , y } C_ A )
35	33, 34	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x , y } e. ~P A <-> ( x e. A /\ y e. A ) )
36	35	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x , y } e. ~P A -> y e. A )
37	21	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { x , y } e. ~P B <-> { x , y } C_ B )
38	15, 17	prss 4351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) <-> { x , y } C_ B )
39	37, 38	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x , y } e. ~P B <-> ( x e. B /\ y e. B ) )
40	39	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x , y } e. ~P B -> x e. B )
41	36, 40	orim12i 538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x , y } e. ~P A \/ { x , y } e. ~P B ) -> ( y e. A \/ x e. B ) )
42	32, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ x e. A ) -> ( y e. A \/ x e. B ) )
43	42	ord 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ x e. A ) -> ( -. y e. A -> x e. B ) )
44	43	impancom 456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ -. y e. A ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
45	44	ssrdv 3609	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ -. y e. A ) -> A C_ B )
46	45	exp31 630	. . . . . . . 8 |- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( y e. B -> ( -. y e. A -> A C_ B ) ) )
47		con1b 348	. . . . . . . 8 |- ( ( -. y e. A -> A C_ B ) <-> ( -. A C_ B -> y e. A ) )
48	46, 47	syl6ib 241	. . . . . . 7 |- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( y e. B -> ( -. A C_ B -> y e. A ) ) )
49	48	com23 86	. . . . . 6 |- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( -. A C_ B -> ( y e. B -> y e. A ) ) )
50	49	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ -. A C_ B ) -> ( y e. B -> y e. A ) )
51	50	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ -. A C_ B ) -> B C_ A )
52	51	ex 450	. . 3 |- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( -. A C_ B -> B C_ A ) )
53	52	orrd 393	. 2 |- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
54	14, 53	impbii 199	1 |- ( ( A C_ B \/ B C_ A ) <-> ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  pwun  5022