Theorem raliunxp 5261

Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of ralxp 5263, B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
raliunxp	|- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   B( y)

Proof of Theorem raliunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliunxp 5259	. . . . . 6 |- ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) <-> E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) )
2	1	imbi1i 339	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
3		19.23vv 1903	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
4	2, 3	bitr4i 267	. . . 4 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
5	4	albii 1747	. . 3 |- ( A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
6		alrot3 2038	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
7		impexp 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) )
8	7	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. x ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) )
9		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. y , z >. e. _V
10		ralxp.1	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
11	10	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) ) )
12	9, 11	ceqsalv 3233	. . . . . 6 |- ( A. x ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
13	8, 12	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
14	13	2albii 1748	. . . 4 |- ( A. y A. z A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
15	6, 14	bitri 264	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
16	5, 15	bitri 264	. 2 |- ( A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
17		df-ral 2917	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) )
18		r2al 2939	. 2 |- ( A. y e. A A. z e. B ps <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
19	16, 17, 18	3bitr4i 292	1 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   X. cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-iun 4522  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by:  rexiunxp  5262  ralxp  5263  fmpt2x  7236  ovmptss  7258  filnetlem4  32376