Theorem ralxp 5263

Description: Universal quantification restricted to a Cartesian product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralxp	|- ( A. x e. ( A X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)

Proof of Theorem ralxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpconst 5175	. . 3 |- U_ y e. A ( { y } X. B ) = ( A X. B )
2	1	raleqi 3142	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. x e. ( A X. B ) ph )
3		ralxp.1	. . 3 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
4	3	raliunxp 5261	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )
5	2, 4	bitr3i 266	1 |- ( A. x e. ( A X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   A.wral 2912   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   X. cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-iun 4522  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by:  ralxpf  5268  issref  5509  ffnov  6764  eqfnov  6766  funimassov  6811  f1stres  7190  f2ndres  7191  ecopover  7851  ecopoverOLD  7852  xpf1o  8122  xpwdomg  8490  rankxplim  8742  imasaddfnlem  16188  imasvscafn  16197  comfeq  16366  isssc  16480  isfuncd  16525  cofucl  16548  funcres2b  16557  evlfcl  16862  uncfcurf  16879  yonedalem3  16920  yonedainv  16921  efgval2  18137  srgfcl  18515  txbas  21370  hausdiag  21448  tx1stc  21453  txkgen  21455  xkococn  21463  cnmpt21  21474  xkoinjcn  21490  tmdcn2  21893  clssubg  21912  qustgplem  21924  txmetcnp  22352  txmetcn  22353  qtopbaslem  22562  bndth  22757  cxpcn3  24489  dvdsmulf1o  24920  fsumdvdsmul  24921  xrofsup  29533  txpconn  31214  cvmlift2lem1  31284  cvmlift2lem12  31296  mclsax  31466  f1opr  33519  ismtyhmeolem  33603  dih1dimatlem  36618  ffnaov  41279  ovn0ssdmfun  41767  plusfreseq  41772