Theorem relbrtpos 7363

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
relbrtpos	|- ( Rel F -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Proof of Theorem relbrtpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 7357	. . . 4 |- Rel tpos F
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( Rel F -> Rel tpos F )
3		brrelex2 5157	. . 3 |- ( ( Rel tpos F /\ <. A , B >.tpos F C ) -> C e. _V )
4	2, 3	sylan 488	. 2 |- ( ( Rel F /\ <. A , B >.tpos F C ) -> C e. _V )
5		brrelex2 5157	. 2 |- ( ( Rel F /\ <. B , A >. F C ) -> C e. _V )
6		brtpos 7361	. 2 |- ( C e. _V -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )
7	4, 5, 6	pm5.21nd 941	1 |- ( Rel F -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   Rel wrel 5119  tpos ctpos 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-tpos 7352

This theorem is referenced by: (None)