Theorem brtpos 7361

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos	|- ( C e. V -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Proof of Theorem brtpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 7358	. . . . 5 |- ( C e. V -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( C e. V /\ ( A e. _V /\ B e. _V ) ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
3		opex 4932	. . . . . . . . . 10 |- <. B , A >. e. _V
4		breldmg 5330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. V /\ <. B , A >. F C ) -> <. B , A >. e. dom F )
5	4	3expia 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. V ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
6	3, 5	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( C e. V -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. V /\ ( A e. _V /\ B e. _V ) ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
8		opelcnvg 5302	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. V /\ ( A e. _V /\ B e. _V ) ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
10	7, 9	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( ( C e. V /\ ( A e. _V /\ B e. _V ) ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. `' dom F ) )
11		elun1 3780	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. e. `' dom F -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
12	10, 11	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( C e. V /\ ( A e. _V /\ B e. _V ) ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
13	12	pm4.71rd 667	. . . . 5 |- ( ( C e. V /\ ( A e. _V /\ B e. _V ) ) -> ( <. B , A >. F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
14		opswap 5622	. . . . . . 7 |- U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >.
15	14	breq1i 4660	. . . . . 6 |- ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C )
16	15	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) )
17	13, 16	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ( C e. V /\ ( A e. _V /\ B e. _V ) ) -> ( <. B , A >. F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
18	2, 17	bitr4d 271	. . 3 |- ( ( C e. V /\ ( A e. _V /\ B e. _V ) ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )
19	18	ex 450	. 2 |- ( C e. V -> ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) ) )
20		brtpos0 7359	. . 3 |- ( C e. V -> ( (/)tpos F C <-> (/) F C ) )
21		opprc 4424	. . . . 5 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = (/) )
22	21	breq1d 4663	. . . 4 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> (/)tpos F C ) )
23		ancom 466	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( B e. _V /\ A e. _V ) )
24		opprc 4424	. . . . . 6 |- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> <. B , A >. = (/) )
25	24	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( <. B , A >. F C <-> (/) F C ) )
26	23, 25	sylnbi 320	. . . 4 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( <. B , A >. F C <-> (/) F C ) )
27	22, 26	bibi12d 335	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) <-> ( (/)tpos F C <-> (/) F C ) ) )
28	20, 27	syl5ibrcom 237	. 2 |- ( C e. V -> ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) ) )
29	19, 28	pm2.61d 170	1 |- ( C e. V -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114  tpos ctpos 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-tpos 7352

This theorem is referenced by:  ottpos  7362  relbrtpos  7363  dmtpos  7364  rntpos  7365  ovtpos  7367  dftpos3  7370  tpostpos  7372