Theorem relcoi2 5663

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 2-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
relcoi2	|- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = R )

Proof of Theorem relcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmrnssfld 5384	. . 3 |- ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R
2		unss 3787	. . . 4 |- ( ( dom R C_ U. U. R /\ ran R C_ U. U. R ) <-> ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R )
3		simpr 477	. . . 4 |- ( ( dom R C_ U. U. R /\ ran R C_ U. U. R ) -> ran R C_ U. U. R )
4	2, 3	sylbir 225	. . 3 |- ( ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R -> ran R C_ U. U. R )
5		cores 5638	. . 3 |- ( ran R C_ U. U. R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = ( _I o. R ) )
6	1, 4, 5	mp2b 10	. 2 |- ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = ( _I o. R )
7		coi2 5652	. 2 |- ( Rel R -> ( _I o. R ) = R )
8	6, 7	syl5eq 2668	1 |- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   u. cun 3572   C_ wss 3574   U.cuni 4436   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126

This theorem is referenced by:  relexpsucr  13769  tsrdir  17238