Theorem tsrdir 17238

Description: A totally ordered set is a directed set. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tsrdir	|- ( A e. TosetRel -> A e. DirRel )

Proof of Theorem tsrdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsrps 17221	. . . 4 |- ( A e. TosetRel -> A e. PosetRel )
2		psrel 17203	. . . 4 |- ( A e. PosetRel -> Rel A )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( A e. TosetRel -> Rel A )
4		psref2 17204	. . . . 5 |- ( A e. PosetRel -> ( A i^i `' A ) = ( _I |` U. U. A ) )
5		inss1 3833	. . . . 5 |- ( A i^i `' A ) C_ A
6	4, 5	syl6eqssr 3656	. . . 4 |- ( A e. PosetRel -> ( _I |` U. U. A ) C_ A )
7	1, 6	syl 17	. . 3 |- ( A e. TosetRel -> ( _I |` U. U. A ) C_ A )
8	3, 7	jca 554	. 2 |- ( A e. TosetRel -> ( Rel A /\ ( _I |` U. U. A ) C_ A ) )
9		pstr2 17205	. . . 4 |- ( A e. PosetRel -> ( A o. A ) C_ A )
10	1, 9	syl 17	. . 3 |- ( A e. TosetRel -> ( A o. A ) C_ A )
11		psdmrn 17207	. . . . . . 7 |- ( A e. PosetRel -> ( dom A = U. U. A /\ ran A = U. U. A ) )
12	1, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. TosetRel -> ( dom A = U. U. A /\ ran A = U. U. A ) )
13	12	simpld 475	. . . . 5 |- ( A e. TosetRel -> dom A = U. U. A )
14	13	sqxpeqd 5141	. . . 4 |- ( A e. TosetRel -> ( dom A X. dom A ) = ( U. U. A X. U. U. A ) )
15		eqid 2622	. . . . . . 7 |- dom A = dom A
16	15	istsr 17217	. . . . . 6 |- ( A e. TosetRel <-> ( A e. PosetRel /\ ( dom A X. dom A ) C_ ( A u. `' A ) ) )
17	16	simprbi 480	. . . . 5 |- ( A e. TosetRel -> ( dom A X. dom A ) C_ ( A u. `' A ) )
18		relcoi2 5663	. . . . . . . 8 |- ( Rel A -> ( ( _I |` U. U. A ) o. A ) = A )
19	3, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. TosetRel -> ( ( _I |` U. U. A ) o. A ) = A )
20		cnvresid 5968	. . . . . . . . 9 |- `' ( _I |` U. U. A ) = ( _I |` U. U. A )
21		cnvss 5294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` U. U. A ) C_ A -> `' ( _I |` U. U. A ) C_ `' A )
22	7, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. TosetRel -> `' ( _I |` U. U. A ) C_ `' A )
23	20, 22	syl5eqssr 3650	. . . . . . . 8 |- ( A e. TosetRel -> ( _I |` U. U. A ) C_ `' A )
24		coss1 5277	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` U. U. A ) C_ `' A -> ( ( _I |` U. U. A ) o. A ) C_ ( `' A o. A ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. TosetRel -> ( ( _I |` U. U. A ) o. A ) C_ ( `' A o. A ) )
26	19, 25	eqsstr3d 3640	. . . . . 6 |- ( A e. TosetRel -> A C_ ( `' A o. A ) )
27		relcnv 5503	. . . . . . . 8 |- Rel `' A
28		relcoi1 5664	. . . . . . . 8 |- ( Rel `' A -> ( `' A o. ( _I |` U. U. `' A ) ) = `' A )
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( `' A o. ( _I |` U. U. `' A ) ) = `' A
30		relcnvfld 5666	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel A -> U. U. A = U. U. `' A )
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. TosetRel -> U. U. A = U. U. `' A )
32	31	reseq2d 5396	. . . . . . . . 9 |- ( A e. TosetRel -> ( _I |` U. U. A ) = ( _I |` U. U. `' A ) )
33	32, 7	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 |- ( A e. TosetRel -> ( _I |` U. U. `' A ) C_ A )
34		coss2 5278	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` U. U. `' A ) C_ A -> ( `' A o. ( _I |` U. U. `' A ) ) C_ ( `' A o. A ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. TosetRel -> ( `' A o. ( _I |` U. U. `' A ) ) C_ ( `' A o. A ) )
36	29, 35	syl5eqssr 3650	. . . . . 6 |- ( A e. TosetRel -> `' A C_ ( `' A o. A ) )
37	26, 36	unssd 3789	. . . . 5 |- ( A e. TosetRel -> ( A u. `' A ) C_ ( `' A o. A ) )
38	17, 37	sstrd 3613	. . . 4 |- ( A e. TosetRel -> ( dom A X. dom A ) C_ ( `' A o. A ) )
39	14, 38	eqsstr3d 3640	. . 3 |- ( A e. TosetRel -> ( U. U. A X. U. U. A ) C_ ( `' A o. A ) )
40	10, 39	jca 554	. 2 |- ( A e. TosetRel -> ( ( A o. A ) C_ A /\ ( U. U. A X. U. U. A ) C_ ( `' A o. A ) ) )
41		eqid 2622	. . 3 |- U. U. A = U. U. A
42	41	isdir 17232	. 2 |- ( A e. TosetRel -> ( A e. DirRel <-> ( ( Rel A /\ ( _I |` U. U. A ) C_ A ) /\ ( ( A o. A ) C_ A /\ ( U. U. A X. U. U. A ) C_ ( `' A o. A ) ) ) ) )
43	8, 40, 42	mpbir2and 957	1 |- ( A e. TosetRel -> A e. DirRel )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   PosetRelcps 17198   TosetRel ctsr 17199   DirRelcdir 17228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fun 5890  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-dir 17230

This theorem is referenced by: (None)