Theorem restuni3 39301

Description: The underlying set of a subspace induced by the subspace operator ↾_t. The result can be applied, for instance, to topologies and sigma-algebras. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
restuni3.1	|- ( ph -> A e. V )
restuni3.2	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
restuni3	|- ( ph -> U. ( A ↾t B ) = ( U. A i^i B ) )

Proof of Theorem restuni3

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 4440	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. ( A ↾t B ) <-> E. y e. ( A ↾t B ) x e. y )
2	1	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( x e. U. ( A ↾t B ) -> E. y e. ( A ↾t B ) x e. y )
3	2	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. ( A ↾t B ) ) -> E. y e. ( A ↾t B ) x e. y )
4		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A ↾t B ) ) -> y e. ( A ↾t B ) )
5		restuni3.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. V )
6		restuni3.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. W )
7		elrest 16088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( y e. ( A ↾t B ) <-> E. z e. A y = ( z i^i B ) ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( y e. ( A ↾t B ) <-> E. z e. A y = ( z i^i B ) ) )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A ↾t B ) ) -> ( y e. ( A ↾t B ) <-> E. z e. A y = ( z i^i B ) ) )
10	4, 9	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( A ↾t B ) ) -> E. z e. A y = ( z i^i B ) )
11	10	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( A ↾t B ) /\ x e. y ) -> E. z e. A y = ( z i^i B ) )
12		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. y /\ y = ( z i^i B ) ) -> x e. y )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. y /\ y = ( z i^i B ) ) -> y = ( z i^i B ) )
14	12, 13	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. y /\ y = ( z i^i B ) ) -> x e. ( z i^i B ) )
15	14	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. y -> ( y = ( z i^i B ) -> x e. ( z i^i B ) ) )
16	15	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( A ↾t B ) /\ x e. y ) -> ( y = ( z i^i B ) -> x e. ( z i^i B ) ) )
17	16	reximdv 3016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( A ↾t B ) /\ x e. y ) -> ( E. z e. A y = ( z i^i B ) -> E. z e. A x e. ( z i^i B ) ) )
18	11, 17	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A ↾t B ) /\ x e. y ) -> E. z e. A x e. ( z i^i B ) )
19	18	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( A ↾t B ) -> ( x e. y -> E. z e. A x e. ( z i^i B ) ) ) )
20	19	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. ( A ↾t B ) x e. y -> E. z e. A x e. ( z i^i B ) ) )
21	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. ( A ↾t B ) ) -> ( E. y e. ( A ↾t B ) x e. y -> E. z e. A x e. ( z i^i B ) ) )
22	3, 21	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. ( A ↾t B ) ) -> E. z e. A x e. ( z i^i B ) )
23		elinel1 3799	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( z i^i B ) -> x e. z )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. A /\ x e. ( z i^i B ) ) -> x e. z )
25		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. A /\ x e. ( z i^i B ) ) -> z e. A )
26		elunii 4441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. z /\ z e. A ) -> x e. U. A )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. A /\ x e. ( z i^i B ) ) -> x e. U. A )
28		elinel2 3800	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( z i^i B ) -> x e. B )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. A /\ x e. ( z i^i B ) ) -> x e. B )
30	27, 29	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A /\ x e. ( z i^i B ) ) -> x e. ( U. A i^i B ) )
31	30	ex 450	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( x e. ( z i^i B ) -> x e. ( U. A i^i B ) ) )
32	31	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. U. ( A ↾t B ) ) /\ z e. A ) -> ( x e. ( z i^i B ) -> x e. ( U. A i^i B ) ) )
33	32	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. ( A ↾t B ) ) -> ( E. z e. A x e. ( z i^i B ) -> x e. ( U. A i^i B ) ) )
34	22, 33	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. ( A ↾t B ) ) -> x e. ( U. A i^i B ) )
35	34	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. U. ( A ↾t B ) x e. ( U. A i^i B ) )
36		dfss3 3592	. . 3 |- ( U. ( A ↾t B ) C_ ( U. A i^i B ) <-> A. x e. U. ( A ↾t B ) x e. ( U. A i^i B ) )
37	35, 36	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> U. ( A ↾t B ) C_ ( U. A i^i B ) )
38		elinel1 3799	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( U. A i^i B ) -> x e. U. A )
39		eluni2 4440	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. A <-> E. z e. A x e. z )
40	38, 39	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( x e. ( U. A i^i B ) -> E. z e. A x e. z )
41	40	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) -> E. z e. A x e. z )
42	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> A e. V )
43	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. W )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. A )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z i^i B ) = ( z i^i B )
46	42, 43, 44, 45	elrestd 39291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( z i^i B ) e. ( A ↾t B ) )
47	46	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. A /\ x e. z ) -> ( z i^i B ) e. ( A ↾t B ) )
48	47	3adant1r 1319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) /\ z e. A /\ x e. z ) -> ( z i^i B ) e. ( A ↾t B ) )
49		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) /\ z e. A /\ x e. z ) -> x e. z )
50		simp1r 1086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) /\ z e. A /\ x e. z ) -> x e. ( U. A i^i B ) )
51		elinel2 3800	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( U. A i^i B ) -> x e. B )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) /\ z e. A /\ x e. z ) -> x e. B )
53		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. z /\ x e. B ) -> x e. z )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. z /\ x e. B ) -> x e. B )
55	53, 54	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. z /\ x e. B ) -> x e. ( z i^i B ) )
56	49, 52, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) /\ z e. A /\ x e. z ) -> x e. ( z i^i B ) )
57		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z i^i B ) -> ( x e. y <-> x e. ( z i^i B ) ) )
58	57	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z i^i B ) e. ( A ↾t B ) /\ x e. ( z i^i B ) ) -> E. y e. ( A ↾t B ) x e. y )
59	48, 56, 58	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) /\ z e. A /\ x e. z ) -> E. y e. ( A ↾t B ) x e. y )
60	59	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) -> ( z e. A -> ( x e. z -> E. y e. ( A ↾t B ) x e. y ) ) )
61	60	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) -> ( E. z e. A x e. z -> E. y e. ( A ↾t B ) x e. y ) )
62	41, 61	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) -> E. y e. ( A ↾t B ) x e. y )
63	62, 1	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( U. A i^i B ) ) -> x e. U. ( A ↾t B ) )
64	63	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( U. A i^i B ) x e. U. ( A ↾t B ) )
65		dfss3 3592	. . 3 |- ( ( U. A i^i B ) C_ U. ( A ↾t B ) <-> A. x e. ( U. A i^i B ) x e. U. ( A ↾t B ) )
66	64, 65	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( U. A i^i B ) C_ U. ( A ↾t B ) )
67	37, 66	eqssd 3620	1 |- ( ph -> U. ( A ↾t B ) = ( U. A i^i B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rest 16083

This theorem is referenced by:  restuni4  39304  subsalsal  40577