Theorem elrest 16088

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	|- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, J

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 16087	. . 3 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( J ↾t B ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) )
2	1	eleq2d 2687	. 2 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> A e. ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) ) )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) = ( x e. J |-> ( x i^i B ) )
4		vex 3203	. . . 4 |- x e. _V
5	4	inex1 4799	. . 3 |- ( x i^i B ) e. _V
6	3, 5	elrnmpti 5376	. 2 |- ( A e. ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) )
7	2, 6	syl6bb 276	1 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   |-> cmpt 4729   ran crn 5115  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rest 16083

This theorem is referenced by:  elrestr  16089  restsspw  16092  firest  16093  restbas  20962  restsn  20974  restcld  20976  restopnb  20979  ssrest  20980  neitr  20984  restntr  20986  cnrest2  21090  cnpresti  21092  cnprest  21093  cnprest2  21094  lmss  21102  cmpsublem  21202  cmpsub  21203  connsuba  21223  1stcrest  21256  subislly  21284  cldllycmp  21298  txrest  21434  trfbas2  21647  trfbas  21648  trfil2  21691  flimrest  21787  fclsrest  21828  cnextcn  21871  tsmssubm  21946  trust  22033  restutop  22041  restutopopn  22042  trcfilu  22098  metrest  22329  xrtgioo  22609  xrge0tsms  22637  icoopnst  22738  iocopnst  22739  subopnmbl  23372  mbfimaopn2  23424  xrlimcnp  24695  xrge0tsmsd  29785  bj-restsn  33035  bj-rest10  33041  bj-restn0  33043  bj-restpw  33045  bj-rest0  33046  bj-restb  33047  bj-restuni  33050  bj-restreg  33052  ptrest  33408  poimirlem29  33438  elrestd  39291  restuni3  39301  icccncfext  40100  subsaliuncl  40576  subsalsal  40577  sssmf  40947  incsmf  40951  decsmf  40975  smflimlem6  40984  smfco  41009  smfpimcc  41014