Theorem subsalsal 40577

Description: A subspace sigma-algebra is a sigma algebra. This is Lemma 121A of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsalsal.1	|- ( ph -> S e. SAlg )
subsalsal.2	|- ( ph -> D e. V )
subsalsal.3	|- T = ( S ↾t D )

Assertion

Ref	Expression
subsalsal	|- ( ph -> T e. SAlg )

Proof of Theorem subsalsal

Dummy variables x n y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsalsal.3	. . . 4 |- T = ( S ↾t D )
2	1	ovexi 6679	. . 3 |- T e. _V
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> T e. _V )
4		subsalsal.1	. . . 4 |- ( ph -> S e. SAlg )
5		subsalsal.2	. . . 4 |- ( ph -> D e. V )
6	4	0sald 40568	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. S )
7		0in 3969	. . . . 5 |- ( (/) i^i D ) = (/)
8	7	eqcomi 2631	. . . 4 |- (/) = ( (/) i^i D )
9	4, 5, 6, 8	elrestd 39291	. . 3 |- ( ph -> (/) e. ( S ↾t D ) )
10	9, 1	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ph -> (/) e. T )
11		eqid 2622	. 2 |- U. T = U. T
12		id 22	. . . . . 6 |- ( x e. T -> x e. T )
13	12, 1	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( x e. T -> x e. ( S ↾t D ) )
14	13	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> x e. ( S ↾t D ) )
15		elrest 16088	. . . . . 6 |- ( ( S e. SAlg /\ D e. V ) -> ( x e. ( S ↾t D ) <-> E. y e. S x = ( y i^i D ) ) )
16	4, 5, 15	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( S ↾t D ) <-> E. y e. S x = ( y i^i D ) ) )
17	16	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( x e. ( S ↾t D ) <-> E. y e. S x = ( y i^i D ) ) )
18	14, 17	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> E. y e. S x = ( y i^i D ) )
19	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> S e. SAlg )
20	19	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S /\ x = ( y i^i D ) ) -> S e. SAlg )
21	5	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S /\ x = ( y i^i D ) ) -> D e. V )
22		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y e. S )
23	19, 22	saldifcld 40565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( U. S \ y ) e. S )
24	23	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. S /\ x = ( y i^i D ) ) -> ( U. S \ y ) e. S )
25		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( U. S \ y ) i^i D ) = ( ( U. S \ y ) i^i D )
26	20, 21, 24, 25	elrestd 39291	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. S /\ x = ( y i^i D ) ) -> ( ( U. S \ y ) i^i D ) e. ( S ↾t D ) )
27	1	unieqi 4445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. T = U. ( S ↾t D )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U. T = U. ( S ↾t D ) )
29	4, 5	restuni3 39301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U. ( S ↾t D ) = ( U. S i^i D ) )
30	28, 29	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. T = ( U. S i^i D ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = ( y i^i D ) ) -> U. T = ( U. S i^i D ) )
32		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = ( y i^i D ) ) -> x = ( y i^i D ) )
33	31, 32	difeq12d 3729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = ( y i^i D ) ) -> ( U. T \ x ) = ( ( U. S i^i D ) \ ( y i^i D ) ) )
34		indifdir 3883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. S \ y ) i^i D ) = ( ( U. S i^i D ) \ ( y i^i D ) )
35	34	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. S i^i D ) \ ( y i^i D ) ) = ( ( U. S \ y ) i^i D )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = ( y i^i D ) ) -> ( ( U. S i^i D ) \ ( y i^i D ) ) = ( ( U. S \ y ) i^i D ) )
37	33, 36	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = ( y i^i D ) ) -> ( U. T \ x ) = ( ( U. S \ y ) i^i D ) )
38	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = ( y i^i D ) ) -> T = ( S ↾t D ) )
39	37, 38	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = ( y i^i D ) ) -> ( ( U. T \ x ) e. T <-> ( ( U. S \ y ) i^i D ) e. ( S ↾t D ) ) )
40	39	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. S /\ x = ( y i^i D ) ) -> ( ( U. T \ x ) e. T <-> ( ( U. S \ y ) i^i D ) e. ( S ↾t D ) ) )
41	26, 40	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. S /\ x = ( y i^i D ) ) -> ( U. T \ x ) e. T )
42	41	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. S -> ( x = ( y i^i D ) -> ( U. T \ x ) e. T ) ) )
43	42	rexlimdv 3030	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. S x = ( y i^i D ) -> ( U. T \ x ) e. T ) )
44	43	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( E. y e. S x = ( y i^i D ) -> ( U. T \ x ) e. T ) )
45	18, 44	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ x e. T ) -> ( U. T \ x ) e. T )
46	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ f : NN --> T ) -> S e. SAlg )
47	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ f : NN --> T ) -> D e. V )
48		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ f : NN --> T ) -> f : NN --> T )
49	46, 47, 1, 48	subsaliuncl 40576	. 2 |- ( ( ph /\ f : NN --> T ) -> U_ n e. NN ( f ` n ) e. T )
50	3, 10, 11, 45, 49	issalnnd 40563	1 |- ( ph -> T e. SAlg )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U.cuni 4436   -->wf 5884  (class class class)co 6650   NNcn 11020   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rest 16083  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  subsaluni  40578  issmflelem  40953  issmfle  40954  smfpimltxr  40956  smfconst  40958  issmfgtlem  40964  issmfgt  40965  smfaddlem2  40972  issmfgelem  40977  issmfge  40978  smfpimgtxr  40988  smfpimioompt  40993  smfresal  40995  smfrec  40996  smfmullem4  41001