Theorem rexunirn 29331

Description: Restricted existential quantification over the union of the range of a function. Cf. rexrn 6361 and eluni2 4440. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexunirn.1	|- F = ( x e. A |-> B )
rexunirn.2	|- ( x e. A -> B e. V )

Assertion

Ref	Expression
rexunirn	|- ( E. x e. A E. y e. B ph -> E. y e. U. ran F ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   x, F   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x)   B( x, y)   F( y)   V( x, y)

Proof of Theorem rexunirn

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
2		19.42v 1918	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
3		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. y e. B ph <-> E. y ( y e. B /\ ph ) )
4	3	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
5	2, 4	bitr4i 267	. . . 4 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
6	5	exbii 1774	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> E. x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
7	1, 6	bitr4i 267	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
8		rexunirn.2	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> B e. V )
9		rexunirn.1	. . . . . . . . 9 |- F = ( x e. A |-> B )
10	9	elrnmpt1 5374	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> B e. ran F )
11	8, 10	mpdan 702	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> B e. ran F )
12		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( y e. b <-> y e. B ) )
13	12	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( y e. b /\ ph ) <-> ( y e. B /\ ph ) ) )
14	13	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ran F /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E. b e. ran F ( y e. b /\ ph ) )
15	11, 14	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E. b e. ran F ( y e. b /\ ph ) )
16		r19.41v 3089	. . . . . 6 |- ( E. b e. ran F ( y e. b /\ ph ) <-> ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
17	15, 16	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
18	17	eximi 1762	. . . 4 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E. y ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
19		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. y e. U. ran F ph <-> E. y ( y e. U. ran F /\ ph ) )
20		eluni2 4440	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ran F <-> E. b e. ran F y e. b )
21	20	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( y e. U. ran F /\ ph ) <-> ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
22	21	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. U. ran F /\ ph ) <-> E. y ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
23	19, 22	bitri 264	. . . 4 |- ( E. y e. U. ran F ph <-> E. y ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
24	18, 23	sylibr 224	. . 3 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E. y e. U. ran F ph )
25	24	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E. y e. U. ran F ph )
26	7, 25	sylbi 207	1 |- ( E. x e. A E. y e. B ph -> E. y e. U. ran F ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by: (None)