MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rlimi2 14245
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  V )
rlimi.2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
rlimi.3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimi.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimi2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )
)
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B    y, C, z    ph, y    y, R, z    y, D, z   
z, V
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)    V( y)

Proof of Theorem rlimi2
StepHypRef Expression
1 rlimi.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  V )
2 rlimi.2 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3 rlimi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
41, 2, 3rlimi 14244 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) )
5 eqid 2622 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  |->  B )  =  ( z  e.  A  |->  B )
65fnmpt 6020 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  V  ->  ( z  e.  A  |->  B )  Fn  A )
7 fndm 5990 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  Fn  A  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
81, 6, 73syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
9 rlimss 14233 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
103, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
118, 10eqsstr3d 3640 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
12 rlimi.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
13 rexico 14093 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  R
) ) )
1411, 12, 13syl2anc 693 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) ) )
154, 14mpbird 247 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( D [,) +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 196    = wceq 1483    e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913    C_ wss 3574   class class class wbr 4653    |-> cmpt 4729   dom cdm 5114    Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   +oocpnf 10071    < clt 10074    <_ cle 10075    - cmin 10266   RR+crp 11832   [,)cico 12177   abscabs 13974    ~~> r crli 14216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-rlim 14220
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator