Theorem issmfgt 40965

Description: The predicate " F is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra S". A function is measurable iff the preimages of all left-open intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of F is required to be b subset of the underlying set of S. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfgt.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
issmfgt.d	|- D = dom F

Assertion

Ref	Expression
issmfgt	|- ( ph -> ( F e. (SMblFn ` S ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | a < ( F ` x ) } e. ( S ↾t D ) ) ) )

Distinct variable groups:   D, a, x   F, a, x   S, a

Allowed substitution hints:   ph( x, a)   S( x)

Proof of Theorem issmfgt

Dummy variables b y c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfgt.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. SAlg )
2	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> S e. SAlg )
3		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> F e. (SMblFn ` S ) )
4		issmfgt.d	. . . . . 6 |- D = dom F
5	2, 3, 4	smfdmss 40942	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> D C_ U. S )
6	2, 3, 4	smff 40941	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> F : D --> RR )
7		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ b ph
8		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ b F e. (SMblFn ` S )
9	7, 8	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ b ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) )
10	2, 5	restuni4 39304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> U. ( S ↾t D ) = D )
11	10	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> D = U. ( S ↾t D ) )
12	11	rabeqd 39276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> { y e. D | b < ( F ` y ) } = { y e. U. ( S ↾t D ) | b < ( F ` y ) } )
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) -> { y e. D | b < ( F ` y ) } = { y e. U. ( S ↾t D ) | b < ( F ` y ) } )
14		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ph
15		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y F e. (SMblFn ` S )
16	14, 15	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) )
17		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ y b e. RR
18	16, 17	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR )
19		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ c ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR )
20	1	uniexd 39281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U. S e. _V )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ D C_ U. S ) -> U. S e. _V )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ D C_ U. S ) -> D C_ U. S )
23	21, 22	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ D C_ U. S ) -> D e. _V )
24	5, 23	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> D e. _V )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( S ↾t D ) = ( S ↾t D )
26	2, 24, 25	subsalsal 40577	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> ( S ↾t D ) e. SAlg )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) -> ( S ↾t D ) e. SAlg )
28		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. ( S ↾t D ) = U. ( S ↾t D )
29	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ y e. U. ( S ↾t D ) ) -> F : D --> RR )
30		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ y e. U. ( S ↾t D ) ) -> y e. U. ( S ↾t D ) )
31	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ y e. U. ( S ↾t D ) ) -> U. ( S ↾t D ) = D )
32	30, 31	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ y e. U. ( S ↾t D ) ) -> y e. D )
33	29, 32	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ y e. U. ( S ↾t D ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
34	33	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ y e. U. ( S ↾t D ) ) -> ( F ` y ) e. RR* )
35	34	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) /\ y e. U. ( S ↾t D ) ) -> ( F ` y ) e. RR* )
36	2, 4	issmfle 40954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> ( F e. (SMblFn ` S ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. c e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) ) ) )
37	3, 36	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. c e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) ) )
38	37	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> A. c e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) )
39	10	rabeqd 39276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> { y e. U. ( S ↾t D ) | ( F ` y ) <_ c } = { y e. D | ( F ` y ) <_ c } )
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> ( { y e. U. ( S ↾t D ) | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) <-> { y e. D | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) ) )
41	40	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> ( A. c e. RR { y e. U. ( S ↾t D ) | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) <-> A. c e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) ) )
42	38, 41	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> A. c e. RR { y e. U. ( S ↾t D ) | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ c e. RR ) -> A. c e. RR { y e. U. ( S ↾t D ) | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ c e. RR ) -> c e. RR )
45		rspa 2930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. c e. RR { y e. U. ( S ↾t D ) | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) /\ c e. RR ) -> { y e. U. ( S ↾t D ) | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) )
46	43, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ c e. RR ) -> { y e. U. ( S ↾t D ) | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) )
47	46	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) /\ c e. RR ) -> { y e. U. ( S ↾t D ) | ( F ` y ) <_ c } e. ( S ↾t D ) )
48		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) -> b e. RR )
49	18, 19, 27, 28, 35, 47, 48	salpreimalegt 40920	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) -> { y e. U. ( S ↾t D ) | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) )
50	13, 49	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) -> { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) )
51	50	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> ( b e. RR -> { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) )
52	9, 51	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) )
53	5, 6, 52	3jca 1242	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) )
54	53	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( F e. (SMblFn ` S ) -> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) ) )
55		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ y D C_ U. S
56		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ y F : D --> RR
57		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y RR
58		nfrab1 3122	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { y e. D | b < ( F ` y ) }
59		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( S ↾t D )
60	58, 59	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ y { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D )
61	57, 60	nfral 2945	. . . . . . 7 |- F/ y A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D )
62	55, 56, 61	nf3an 1831	. . . . . 6 |- F/ y ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) )
63	14, 62	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ y ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) )
64		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ b D C_ U. S
65		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ b F : D --> RR
66		nfra1 2941	. . . . . . 7 |- F/ b A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D )
67	64, 65, 66	nf3an 1831	. . . . . 6 |- F/ b ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) )
68	7, 67	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ b ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) )
69	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) ) -> S e. SAlg )
70		simpr1 1067	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) ) -> D C_ U. S )
71		simpr2 1068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) ) -> F : D --> RR )
72		simpr3 1069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) ) -> A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) )
73	63, 68, 69, 4, 70, 71, 72	issmfgtlem 40964	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) ) -> F e. (SMblFn ` S ) )
74	73	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) -> F e. (SMblFn ` S ) ) )
75	54, 74	impbid 202	. 2 |- ( ph -> ( F e. (SMblFn ` S ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) ) )
76		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( b = a -> ( b < ( F ` y ) <-> a < ( F ` y ) ) )
77	76	rabbidv 3189	. . . . . . 7 |- ( b = a -> { y e. D | b < ( F ` y ) } = { y e. D | a < ( F ` y ) } )
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
79	78	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( a < ( F ` y ) <-> a < ( F ` x ) ) )
80	79	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 |- { y e. D | a < ( F ` y ) } = { x e. D | a < ( F ` x ) }
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( b = a -> { y e. D | a < ( F ` y ) } = { x e. D | a < ( F ` x ) } )
82	77, 81	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( b = a -> { y e. D | b < ( F ` y ) } = { x e. D | a < ( F ` x ) } )
83	82	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( b = a -> ( { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) <-> { x e. D | a < ( F ` x ) } e. ( S ↾t D ) ) )
84	83	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) <-> A. a e. RR { x e. D | a < ( F ` x ) } e. ( S ↾t D ) )
85	84	3anbi3i 1255	. . 3 |- ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | a < ( F ` x ) } e. ( S ↾t D ) ) )
86	85	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | b < ( F ` y ) } e. ( S ↾t D ) ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | a < ( F ` x ) } e. ( S ↾t D ) ) ) )
87	75, 86	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( F e. (SMblFn ` S ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | a < ( F ` x ) } e. ( S ↾t D ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fl 12593  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  issmfgtd  40969  smfpreimagt  40970