Theorem pimrecltpos 40919

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltpos.x	|- F/ x ph
pimrecltpos.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
pimrecltpos.n	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B =/= 0 )
pimrecltpos.c	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
pimrecltpos	|- ( ph -> { x e. A | ( 1 / B ) < C } = ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) )

Proof of Theorem pimrecltpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltpos.x	. . 3 |- F/ x ph
2		rabidim1 3117	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } -> x e. A )
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } /\ B < 0 ) -> x e. A )
4		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } /\ B < 0 ) -> B < 0 )
5	3, 4	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } /\ B < 0 ) -> ( x e. A /\ B < 0 ) )
6		rabid 3116	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { x e. A | B < 0 } <-> ( x e. A /\ B < 0 ) )
7	5, 6	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } /\ B < 0 ) -> x e. { x e. A | B < 0 } )
8		elun2 3781	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. A | B < 0 } -> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } /\ B < 0 ) -> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) )
10	9	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ B < 0 ) -> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) )
11		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ -. B < 0 ) -> 0 e. RR )
12		pimrecltpos.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
13	2, 12	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> B e. RR )
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ -. B < 0 ) -> B e. RR )
15	2	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> x e. A )
16		pimrecltpos.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B =/= 0 )
17	16	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 =/= B )
18	15, 17	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> 0 =/= B )
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ -. B < 0 ) -> 0 =/= B )
20		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ -. B < 0 ) -> -. B < 0 )
21	11, 14, 19, 20	lttri5d 39513	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ -. B < 0 ) -> 0 < B )
22	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ 0 < B ) -> x e. A )
23	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ 0 < B ) -> B e. RR )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ 0 < B ) -> 0 < B )
25	23, 24	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ 0 < B ) -> B e. RR+ )
26		pimrecltpos.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR+ )
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ 0 < B ) -> C e. RR+ )
28		rabidim2 39284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } -> ( 1 / B ) < C )
29	28	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ 0 < B ) -> ( 1 / B ) < C )
30	25, 27, 29	ltrec1d 11892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ 0 < B ) -> ( 1 / C ) < B )
31	22, 30	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ 0 < B ) -> ( x e. A /\ ( 1 / C ) < B ) )
32		rabid 3116	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } <-> ( x e. A /\ ( 1 / C ) < B ) )
33	31, 32	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ 0 < B ) -> x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } )
34		elun1 3780	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } -> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ 0 < B ) -> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) )
36	21, 35	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) /\ -. B < 0 ) -> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) )
37	10, 36	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) -> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) )
38	37	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } -> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) ) )
39	32	simplbi 476	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } -> x e. A )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> x e. A )
41	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> C e. RR+ )
42	40, 12	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> B e. RR )
43		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> 0 e. RR )
44	41	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> ( 1 / C ) e. RR )
45	26	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. RR )
46	26	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < C )
47	45, 46	recgt0d 10958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( 1 / C ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> 0 < ( 1 / C ) )
49	32	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } -> ( 1 / C ) < B )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> ( 1 / C ) < B )
51	43, 44, 42, 48, 50	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> 0 < B )
52	42, 51	elrpd 11869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> B e. RR+ )
53	41, 52, 50	ltrec1d 11892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> ( 1 / B ) < C )
54	40, 53	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> ( x e. A /\ ( 1 / B ) < C ) )
55		rabid 3116	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } <-> ( x e. A /\ ( 1 / B ) < C ) )
56	54, 55	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } )
57	56	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) ) /\ x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } )
58		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) ) /\ -. x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> ph )
59		elunnel1 3754	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) /\ -. x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> x e. { x e. A | B < 0 } )
60	59	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) ) /\ -. x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> x e. { x e. A | B < 0 } )
61	6	simplbi 476	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. A | B < 0 } -> x e. A )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> x e. A )
63	12, 16	rereccld 10852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 1 / B ) e. RR )
64	62, 63	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> ( 1 / B ) e. RR )
65		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> 0 e. RR )
66	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> C e. RR )
67	62, 12	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> B e. RR )
68	6	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { x e. A | B < 0 } -> B < 0 )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> B < 0 )
70	67, 69	reclt0d 39607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> ( 1 / B ) < 0 )
71	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> 0 < C )
72	64, 65, 66, 70, 71	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> ( 1 / B ) < C )
73	62, 72	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> ( x e. A /\ ( 1 / B ) < C ) )
74	73, 55	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | B < 0 } ) -> x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } )
75	58, 60, 74	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) ) /\ -. x e. { x e. A | ( 1 / C ) < B } ) -> x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } )
76	57, 75	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) ) -> x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } )
77	76	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) -> x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } ) )
78	38, 77	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } <-> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) ) )
79	1, 78	alrimi 2082	. 2 |- ( ph -> A. x ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } <-> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) ) )
80		nfrab1 3122	. . 3 |- F/_ x { x e. A | ( 1 / B ) < C }
81		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ x { x e. A | ( 1 / C ) < B }
82		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ x { x e. A | B < 0 }
83	81, 82	nfun 3769	. . 3 |- F/_ x ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } )
84	80, 83	dfcleqf 39255	. 2 |- ( { x e. A | ( 1 / B ) < C } = ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) <-> A. x ( x e. { x e. A | ( 1 / B ) < C } <-> x e. ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) ) )
85	79, 84	sylibr 224	1 |- ( ph -> { x e. A | ( 1 / B ) < C } = ( { x e. A | ( 1 / C ) < B } u. { x e. A | B < 0 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   u. cun 3572   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   / cdiv 10684   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  smfrec  40996