Theorem sbcfung 5912

Description: Distribute proper substitution through the function predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sbcfung	|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Fun F <-> Fun [_ A / x ]_ F ) )

Proof of Theorem sbcfung

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcan 3478	. . 3 |- ( [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w E. y A. z ( w F z -> z = y ) ) <-> ( [. A / x ]. Rel F /\ [. A / x ]. A. w E. y A. z ( w F z -> z = y ) ) )
2		sbcrel 5205	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Rel F <-> Rel [_ A / x ]_ F ) )
3		sbcal 3485	. . . . 5 |- ( [. A / x ]. A. w E. y A. z ( w F z -> z = y ) <-> A. w [. A / x ]. E. y A. z ( w F z -> z = y ) )
4		sbcex2 3486	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. E. y A. z ( w F z -> z = y ) <-> E. y [. A / x ]. A. z ( w F z -> z = y ) )
5		sbcal 3485	. . . . . . . . 9 |- ( [. A / x ]. A. z ( w F z -> z = y ) <-> A. z [. A / x ]. ( w F z -> z = y ) )
6		sbcimg 3477	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( w F z -> z = y ) <-> ( [. A / x ]. w F z -> [. A / x ]. z = y ) ) )
7		sbcbr123 4706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. A / x ]. w F z <-> [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ z )
8		csbconstg 3546	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ w = w )
9		csbconstg 3546	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ z = z )
10	8, 9	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> ( [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ z <-> w [_ A / x ]_ F z ) )
11	7, 10	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F z <-> w [_ A / x ]_ F z ) )
12		sbcg 3503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. z = y <-> z = y ) )
13	11, 12	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. w F z -> [. A / x ]. z = y ) <-> ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) )
14	6, 13	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( w F z -> z = y ) <-> ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) )
15	14	albidv 1849	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A. z [. A / x ]. ( w F z -> z = y ) <-> A. z ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) )
16	5, 15	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. z ( w F z -> z = y ) <-> A. z ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) )
17	16	exbidv 1850	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( E. y [. A / x ]. A. z ( w F z -> z = y ) <-> E. y A. z ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) )
18	4, 17	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. y A. z ( w F z -> z = y ) <-> E. y A. z ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) )
19	18	albidv 1849	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. w [. A / x ]. E. y A. z ( w F z -> z = y ) <-> A. w E. y A. z ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) )
20	3, 19	syl5bb 272	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. w E. y A. z ( w F z -> z = y ) <-> A. w E. y A. z ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) )
21	2, 20	anbi12d 747	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. Rel F /\ [. A / x ]. A. w E. y A. z ( w F z -> z = y ) ) <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w E. y A. z ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) ) )
22	1, 21	syl5bb 272	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w E. y A. z ( w F z -> z = y ) ) <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w E. y A. z ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) ) )
23		dffun3 5899	. . 3 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. w E. y A. z ( w F z -> z = y ) ) )
24	23	sbcbii 3491	. 2 |- ( [. A / x ]. Fun F <-> [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w E. y A. z ( w F z -> z = y ) ) )
25		dffun3 5899	. 2 |- ( Fun [_ A / x ]_ F <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w E. y A. z ( w [_ A / x ]_ F z -> z = y ) ) )
26	22, 24, 25	3bitr4g 303	1 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Fun F <-> Fun [_ A / x ]_ F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   [.wsbc 3435   [_csb 3533   class class class wbr 4653   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-fun 5890

This theorem is referenced by:  sbcfng  6042  esum2dlem  30154