Theorem esum2dlem 30154

Description: Lemma for esum2d 30155 (finite case). (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
esum2d.0	|- F/_ k F
esum2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> F = C )
esum2d.2	|- ( ph -> A e. V )
esum2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
esum2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
esum2dlem.e	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
esum2dlem	|- ( ph -> Σ* j e. AΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )

Distinct variable groups:   j, k, A, z   z, C   B, k, z   j, F   j, W, k   ph, j, k, z

Allowed substitution hints:   B( j)   C( j, k)   F( z, k)   V( z, j, k)   W( z)

Proof of Theorem esum2dlem

Dummy variables i l t a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumeq1 30096	. . 3 |- ( a = (/) -> Σ* j e. aΣ* k e. B C = Σ* j e. (/)Σ* k e. B C )
2		nfv 1843	. . . 4 |- F/ z a = (/)
3		iuneq1 4534	. . . 4 |- ( a = (/) -> U_ j e. a ( { j } X. B ) = U_ j e. (/) ( { j } X. B ) )
4	2, 3	esumeq1d 30097	. . 3 |- ( a = (/) -> Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F = Σ* z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) F )
5	1, 4	eqeq12d 2637	. 2 |- ( a = (/) -> (Σ* j e. aΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F <-> Σ* j e. (/)Σ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) F ) )
6		esumeq1 30096	. . 3 |- ( a = b -> Σ* j e. aΣ* k e. B C = Σ* j e. bΣ* k e. B C )
7		nfv 1843	. . . 4 |- F/ z a = b
8		iuneq1 4534	. . . 4 |- ( a = b -> U_ j e. a ( { j } X. B ) = U_ j e. b ( { j } X. B ) )
9	7, 8	esumeq1d 30097	. . 3 |- ( a = b -> Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F = Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F )
10	6, 9	eqeq12d 2637	. 2 |- ( a = b -> (Σ* j e. aΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F <-> Σ* j e. bΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F ) )
11		esumeq1 30096	. . 3 |- ( a = ( b u. { l } ) -> Σ* j e. aΣ* k e. B C = Σ* j e. ( b u. { l } )Σ* k e. B C )
12		nfv 1843	. . . 4 |- F/ z a = ( b u. { l } )
13		iuneq1 4534	. . . 4 |- ( a = ( b u. { l } ) -> U_ j e. a ( { j } X. B ) = U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) )
14	12, 13	esumeq1d 30097	. . 3 |- ( a = ( b u. { l } ) -> Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F = Σ* z e. U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) F )
15	11, 14	eqeq12d 2637	. 2 |- ( a = ( b u. { l } ) -> (Σ* j e. aΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F <-> Σ* j e. ( b u. { l } )Σ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) F ) )
16		esumeq1 30096	. . 3 |- ( a = A -> Σ* j e. aΣ* k e. B C = Σ* j e. AΣ* k e. B C )
17		nfv 1843	. . . 4 |- F/ z a = A
18		iuneq1 4534	. . . 4 |- ( a = A -> U_ j e. a ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) )
19	17, 18	esumeq1d 30097	. . 3 |- ( a = A -> Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
20	16, 19	eqeq12d 2637	. 2 |- ( a = A -> (Σ* j e. aΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F <-> Σ* j e. AΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) )
21		esumnul 30110	. . . 4 |- Σ* z e. (/) F = 0
22		0iun 4577	. . . . 5 |- U_ j e. (/) ( { j } X. B ) = (/)
23		esumeq1 30096	. . . . 5 |- ( U_ j e. (/) ( { j } X. B ) = (/) -> Σ* z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) F = Σ* z e. (/) F )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 |- Σ* z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) F = Σ* z e. (/) F
25		esumnul 30110	. . . 4 |- Σ* j e. (/)Σ* k e. B C = 0
26	21, 24, 25	3eqtr4ri 2655	. . 3 |- Σ* j e. (/)Σ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) F
27	26	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Σ* j e. (/)Σ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. (/) ( { j } X. B ) F )
28		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ Σ* j e. bΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F ) -> Σ* j e. bΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F )
29		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ j [_ l / j ]_ B
30		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ j [_ l / j ]_ C
31	29, 30	nfesum2 30103	. . . . . . . 8 |- F/_ jΣ* k e. [_ l / j ]_ B [_ l / j ]_ C
32		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( j = l -> B = [_ l / j ]_ B )
33		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( j = l -> C = [_ l / j ]_ C )
34	32, 33	esumeq12d 30095	. . . . . . . . 9 |- ( j = l -> Σ* k e. B C = Σ* k e. [_ l / j ]_ B [_ l / j ]_ C )
35	34	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j = l ) -> Σ* k e. B C = Σ* k e. [_ l / j ]_ B [_ l / j ]_ C )
36		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> l e. ( A \ b ) )
37	36	eldifad 3586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> l e. A )
38		esum2d.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
39	38	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. A ) -> B e. W )
40	39	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> A. j e. A B e. W )
41		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( l e. A /\ A. j e. A B e. W ) -> [_ l / j ]_ B e. W )
42	37, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> [_ l / j ]_ B e. W )
43		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ k e. [_ l / j ]_ B ) -> ph )
44	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ k e. [_ l / j ]_ B ) -> l e. A )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ k e. [_ l / j ]_ B ) -> k e. [_ l / j ]_ B )
46		esum2d.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
47	46	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
48	47	sbcimdv 3498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( [. l / j ]. ( j e. A /\ k e. B ) -> [. l / j ]. C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
49		sbcan 3478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. l / j ]. ( j e. A /\ k e. B ) <-> ( [. l / j ]. j e. A /\ [. l / j ]. k e. B ) )
50		sbcel1v 3495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. l / j ]. j e. A <-> l e. A )
51		sbcel2 3989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. l / j ]. k e. B <-> k e. [_ l / j ]_ B )
52	50, 51	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [. l / j ]. j e. A /\ [. l / j ]. k e. B ) <-> ( l e. A /\ k e. [_ l / j ]_ B ) )
53	49, 52	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. l / j ]. ( j e. A /\ k e. B ) <-> ( l e. A /\ k e. [_ l / j ]_ B ) )
54		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- l e. _V
55		sbcel1g 3987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. _V -> ( [. l / j ]. C e. ( 0 [,] +oo ) <-> [_ l / j ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. l / j ]. C e. ( 0 [,] +oo ) <-> [_ l / j ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
57	48, 53, 56	3imtr3g 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( l e. A /\ k e. [_ l / j ]_ B ) -> [_ l / j ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) ) )
58	57	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( l e. A /\ k e. [_ l / j ]_ B ) ) -> [_ l / j ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
59	43, 44, 45, 58	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ k e. [_ l / j ]_ B ) -> [_ l / j ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
60	59	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> A. k e. [_ l / j ]_ B [_ l / j ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ l / j ]_ B
62	61	esumcl 30092	. . . . . . . . 9 |- ( ( [_ l / j ]_ B e. W /\ A. k e. [_ l / j ]_ B [_ l / j ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. [_ l / j ]_ B [_ l / j ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
63	42, 60, 62	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> Σ* k e. [_ l / j ]_ B [_ l / j ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
64	31, 35, 36, 63	esumsnf 30126	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> Σ* j e. { l }Σ* k e. B C = Σ* k e. [_ l / j ]_ B [_ l / j ]_ C )
65		esum2d.0	. . . . . . . . 9 |- F/_ k F
66		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) )
67		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j z = <. l , k >.
68	30	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j F = [_ l / j ]_ C
69	67, 68	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( z = <. l , k >. -> F = [_ l / j ]_ C )
70		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> <. j , k >. = <. l , k >. )
71	70	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = l -> ( z = <. j , k >. <-> z = <. l , k >. ) )
72	33	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = l -> ( F = C <-> F = [_ l / j ]_ C ) )
73	71, 72	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( j = l -> ( ( z = <. j , k >. -> F = C ) <-> ( z = <. l , k >. -> F = [_ l / j ]_ C ) ) )
74		esum2d.1	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. j , k >. -> F = C )
75	69, 73, 74	chvar 2262	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. l , k >. -> F = [_ l / j ]_ C )
76		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- j e. { j }
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> j e. { j } )
78		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> k e. B )
79	77, 78	opelxpd 5149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> <. j , k >. e. ( { j } X. B ) )
80		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 2nd ` z ) e. B )
81		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. { j } )
82		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1st ` z ) e. _V
83	82	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1st ` z ) e. { j } <-> ( 1st ` z ) = j )
84	81, 83	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) = j )
85		eqop 7208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( z = <. j , k >. <-> ( ( 1st ` z ) = j /\ ( 2nd ` z ) = k ) ) )
86	84, 85	mpbirand 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( z = <. j , k >. <-> ( 2nd ` z ) = k ) )
87		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2nd ` z ) = k <-> k = ( 2nd ` z ) )
88	86, 87	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( z = <. j , k >. <-> k = ( 2nd ` z ) ) )
89	88	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) -> ( z = <. j , k >. <-> k = ( 2nd ` z ) ) )
90	89	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> A. k e. B ( z = <. j , k >. <-> k = ( 2nd ` z ) ) )
91		reu6i 3397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2nd ` z ) e. B /\ A. k e. B ( z = <. j , k >. <-> k = ( 2nd ` z ) ) ) -> E! k e. B z = <. j , k >. )
92	80, 90, 91	syl2an2 875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> E! k e. B z = <. j , k >. )
93	79, 92	f1mptrn 29435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> Fun `' ( k e. B |-> <. j , k >. ) )
94	93	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( j e. A -> Fun `' ( k e. B |-> <. j , k >. ) ) )
95	94	sbcimdv 3498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( [. l / j ]. j e. A -> [. l / j ]. Fun `' ( k e. B |-> <. j , k >. ) ) )
96		sbcfung 5912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. _V -> ( [. l / j ]. Fun `' ( k e. B |-> <. j , k >. ) <-> Fun [_ l / j ]_ `' ( k e. B |-> <. j , k >. ) ) )
97		csbcnv 5306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- `' [_ l / j ]_ ( k e. B |-> <. j , k >. ) = [_ l / j ]_ `' ( k e. B |-> <. j , k >. )
98		csbmpt12 5010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l e. _V -> [_ l / j ]_ ( k e. B |-> <. j , k >. ) = ( k e. [_ l / j ]_ B |-> [_ l / j ]_ <. j , k >. ) )
99		csbopg 4420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l e. _V -> [_ l / j ]_ <. j , k >. = <. [_ l / j ]_ j , [_ l / j ]_ k >. )
100		csbvarg 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l e. _V -> [_ l / j ]_ j = l )
101		csbconstg 3546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l e. _V -> [_ l / j ]_ k = k )
102	100, 101	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l e. _V -> <. [_ l / j ]_ j , [_ l / j ]_ k >. = <. l , k >. )
103	99, 102	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l e. _V -> [_ l / j ]_ <. j , k >. = <. l , k >. )
104	103	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l e. _V -> ( k e. [_ l / j ]_ B |-> [_ l / j ]_ <. j , k >. ) = ( k e. [_ l / j ]_ B |-> <. l , k >. ) )
105	98, 104	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l e. _V -> [_ l / j ]_ ( k e. B |-> <. j , k >. ) = ( k e. [_ l / j ]_ B |-> <. l , k >. ) )
106	105	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. _V -> `' [_ l / j ]_ ( k e. B |-> <. j , k >. ) = `' ( k e. [_ l / j ]_ B |-> <. l , k >. ) )
107	97, 106	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. _V -> [_ l / j ]_ `' ( k e. B |-> <. j , k >. ) = `' ( k e. [_ l / j ]_ B |-> <. l , k >. ) )
108	107	funeqd 5910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. _V -> ( Fun [_ l / j ]_ `' ( k e. B |-> <. j , k >. ) <-> Fun `' ( k e. [_ l / j ]_ B |-> <. l , k >. ) ) )
109	96, 108	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l e. _V -> ( [. l / j ]. Fun `' ( k e. B |-> <. j , k >. ) <-> Fun `' ( k e. [_ l / j ]_ B |-> <. l , k >. ) ) )
110	54, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [. l / j ]. Fun `' ( k e. B |-> <. j , k >. ) <-> Fun `' ( k e. [_ l / j ]_ B |-> <. l , k >. ) )
111	95, 50, 110	3imtr3g 284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( l e. A -> Fun `' ( k e. [_ l / j ]_ B |-> <. l , k >. ) ) )
112	111	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ l e. A ) -> Fun `' ( k e. [_ l / j ]_ B |-> <. l , k >. ) )
113	37, 112	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> Fun `' ( k e. [_ l / j ]_ B |-> <. l , k >. ) )
114		vsnid 4209	. . . . . . . . . . 11 |- l e. { l }
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ k e. [_ l / j ]_ B ) -> l e. { l } )
116	115, 45	opelxpd 5149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ k e. [_ l / j ]_ B ) -> <. l , k >. e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) )
117	65, 66, 61, 75, 42, 113, 59, 116	esumc 30113	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> Σ* k e. [_ l / j ]_ B [_ l / j ]_ C = Σ* z e. { t | E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. } F )
118		nfab1 2766	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t { t | E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. }
119		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( { l } X. [_ l / j ]_ B )
120		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = l -> <. i , k >. = <. l , k >. )
121	120	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = l -> ( t = <. i , k >. <-> t = <. l , k >. ) )
122	121	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = l -> ( E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. i , k >. <-> E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. ) )
123	54, 122	rexsn 4223	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. i e. { l } E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. i , k >. <-> E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. )
124		elxp2 5132	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) <-> E. i e. { l } E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. i , k >. )
125		abid 2610	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. { t | E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. } <-> E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. )
126	123, 124, 125	3bitr4ri 293	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. { t | E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. } <-> t e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) )
127	118, 119, 126	eqri 29315	. . . . . . . . 9 |- { t | E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. } = ( { l } X. [_ l / j ]_ B )
128		esumeq1 30096	. . . . . . . . 9 |- ( { t | E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. } = ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) -> Σ* z e. { t | E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. } F = Σ* z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) F )
129	127, 128	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- Σ* z e. { t | E. k e. [_ l / j ]_ B t = <. l , k >. } F = Σ* z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) F
130	117, 129	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> Σ* k e. [_ l / j ]_ B [_ l / j ]_ C = Σ* z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) F )
131	64, 130	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> Σ* j e. { l }Σ* k e. B C = Σ* z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) F )
132	131	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ Σ* j e. bΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F ) -> Σ* j e. { l }Σ* k e. B C = Σ* z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) F )
133	28, 132	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ Σ* j e. bΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F ) -> (Σ* j e. bΣ* k e. B C +eΣ* j e. { l }Σ* k e. B C ) = (Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F +eΣ* z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) F ) )
134		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ j ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) )
135		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j b
136		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j { l }
137		vex 3203	. . . . . . 7 |- b e. _V
138	137	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> b e. _V )
139		snex 4908	. . . . . . 7 |- { l } e. _V
140	139	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> { l } e. _V )
141	36	eldifbd 3587	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> -. l e. b )
142		disjsn 4246	. . . . . . 7 |- ( ( b i^i { l } ) = (/) <-> -. l e. b )
143	141, 142	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> ( b i^i { l } ) = (/) )
144		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. b ) -> ph )
145		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> b C_ A )
146	145	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. b ) -> j e. A )
147	46	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
148	147	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> A. k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
149		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k B
150	149	esumcl 30092	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. W /\ A. k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
151	38, 148, 150	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
152	144, 146, 151	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. b ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
153		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. { l } ) -> ph )
154	37	snssd 4340	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> { l } C_ A )
155	154	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. { l } ) -> j e. A )
156	153, 155, 151	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. { l } ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
157	134, 135, 136, 138, 140, 143, 152, 156	esumsplit 30115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> Σ* j e. ( b u. { l } )Σ* k e. B C = (Σ* j e. bΣ* k e. B C +eΣ* j e. { l }Σ* k e. B C ) )
158	157	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ Σ* j e. bΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F ) -> Σ* j e. ( b u. { l } )Σ* k e. B C = (Σ* j e. bΣ* k e. B C +eΣ* j e. { l }Σ* k e. B C ) )
159		iunxun 4605	. . . . . . . 8 |- U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. b ( { j } X. B ) u. U_ j e. { l } ( { j } X. B ) )
160	136, 29	nfxp 5142	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j ( { l } X. [_ l / j ]_ B )
161		sneq 4187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> { j } = { l } )
162	161, 32	xpeq12d 5140	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = l -> ( { j } X. B ) = ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) )
163	160, 162	iunxsngf 29375	. . . . . . . . . 10 |- ( l e. _V -> U_ j e. { l } ( { j } X. B ) = ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) )
164	54, 163	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- U_ j e. { l } ( { j } X. B ) = ( { l } X. [_ l / j ]_ B )
165	164	uneq2i 3764	. . . . . . . 8 |- ( U_ j e. b ( { j } X. B ) u. U_ j e. { l } ( { j } X. B ) ) = ( U_ j e. b ( { j } X. B ) u. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) )
166	159, 165	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. b ( { j } X. B ) u. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) )
167		esumeq1 30096	. . . . . . 7 |- ( U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. b ( { j } X. B ) u. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) -> Σ* z e. U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) F = Σ* z e. ( U_ j e. b ( { j } X. B ) u. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) F )
168	166, 167	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Σ* z e. U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) F = Σ* z e. ( U_ j e. b ( { j } X. B ) u. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) F
169		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ z ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) )
170		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ z U_ j e. b ( { j } X. B )
171		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ z ( { l } X. [_ l / j ]_ B )
172		snex 4908	. . . . . . . . . 10 |- { j } e. _V
173	146, 39	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. b ) -> B e. W )
174		xpexg 6960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { j } e. _V /\ B e. W ) -> ( { j } X. B ) e. _V )
175	172, 173, 174	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. b ) -> ( { j } X. B ) e. _V )
176	175	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> A. j e. b ( { j } X. B ) e. _V )
177		iunexg 7143	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. _V /\ A. j e. b ( { j } X. B ) e. _V ) -> U_ j e. b ( { j } X. B ) e. _V )
178	137, 176, 177	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> U_ j e. b ( { j } X. B ) e. _V )
179		xpexg 6960	. . . . . . . 8 |- ( ( { l } e. _V /\ [_ l / j ]_ B e. W ) -> ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) e. _V )
180	139, 42, 179	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) e. _V )
181		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. b ) -> j e. b )
182	141	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. b ) -> -. l e. b )
183		nelne2 2891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. b /\ -. l e. b ) -> j =/= l )
184	181, 182, 183	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. b ) -> j =/= l )
185		disjsn2 4247	. . . . . . . . . 10 |- ( j =/= l -> ( { j } i^i { l } ) = (/) )
186		xpdisj1 5555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { j } i^i { l } ) = (/) -> ( ( { j } X. B ) i^i ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) = (/) )
187	184, 185, 186	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ j e. b ) -> ( ( { j } X. B ) i^i ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) = (/) )
188	187	iuneq2dv 4542	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> U_ j e. b ( ( { j } X. B ) i^i ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) = U_ j e. b (/) )
189	160	iunin1f 29374	. . . . . . . 8 |- U_ j e. b ( ( { j } X. B ) i^i ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) = ( U_ j e. b ( { j } X. B ) i^i ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) )
190		iun0 4576	. . . . . . . 8 |- U_ j e. b (/) = (/)
191	188, 189, 190	3eqtr3g 2679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> ( U_ j e. b ( { j } X. B ) i^i ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) = (/) )
192		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) ) -> ph )
193		iunss1 4532	. . . . . . . . . 10 |- ( b C_ A -> U_ j e. b ( { j } X. B ) C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
194	145, 193	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> U_ j e. b ( { j } X. B ) C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
195	194	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
196		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ph
197		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. B )
198	197	nfcri 2758	. . . . . . . . . 10 |- F/ j z e. U_ j e. A ( { j } X. B )
199	196, 198	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
200		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) )
201		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( 0 [,] +oo )
202	65, 201	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ k F e. ( 0 [,] +oo )
203	74	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> F = C )
204		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> ph )
205		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> j e. A )
206		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> k e. B )
207	204, 205, 206, 46	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
208	203, 207	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
209		elsnxp 5677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. A -> ( z e. ( { j } X. B ) <-> E. k e. B z = <. j , k >. ) )
210	209	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. A /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> E. k e. B z = <. j , k >. )
211	210	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> E. k e. B z = <. j , k >. )
212	200, 202, 208, 211	r19.29af2 3075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
213		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
214		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> E. j e. A z e. ( { j } X. B ) )
215	213, 214	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> E. j e. A z e. ( { j } X. B ) )
216	199, 212, 215	r19.29af 3076	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
217	192, 195, 216	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
218		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) -> ph )
219		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j A
220		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j l
221	219, 220, 160, 162	ssiun2sf 29378	. . . . . . . . . 10 |- ( l e. A -> ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
222	37, 221	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
223	222	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
224	218, 223, 216	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
225	169, 170, 171, 178, 180, 191, 217, 224	esumsplit 30115	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> Σ* z e. ( U_ j e. b ( { j } X. B ) u. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) ) F = (Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F +eΣ* z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) F ) )
226	168, 225	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> Σ* z e. U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) F = (Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F +eΣ* z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) F ) )
227	226	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ Σ* j e. bΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F ) -> Σ* z e. U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) F = (Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F +eΣ* z e. ( { l } X. [_ l / j ]_ B ) F ) )
228	133, 158, 227	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) /\ Σ* j e. bΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F ) -> Σ* j e. ( b u. { l } )Σ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) F )
229	228	ex 450	. 2 |- ( ( ph /\ ( b C_ A /\ l e. ( A \ b ) ) ) -> (Σ* j e. bΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. b ( { j } X. B ) F -> Σ* j e. ( b u. { l } )Σ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. ( b u. { l } ) ( { j } X. B ) F ) )
230		esum2dlem.e	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
231	5, 10, 15, 20, 27, 229, 230	findcard2d 8202	1 |- ( ph -> Σ* j e. AΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Fincfn 7955   0cc0 9936   +oocpnf 10071   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  esum2d  30155