Theorem seqomlem0 7544

Description: Lemma for seq_𝜔. Change bound variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
seqomlem0	|- rec ( ( a e. om , b e. _V |-> <. suc a , ( a F b ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) = rec ( ( c e. om , d e. _V |-> <. suc c , ( c F d ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. )

Distinct variable groups:   F, a, b, c, d   I, a, b, c, d

Proof of Theorem seqomlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 5790	. . . 4 |- ( a = c -> suc a = suc c )
2		oveq1 6657	. . . 4 |- ( a = c -> ( a F b ) = ( c F b ) )
3	1, 2	opeq12d 4410	. . 3 |- ( a = c -> <. suc a , ( a F b ) >. = <. suc c , ( c F b ) >. )
4		oveq2 6658	. . . 4 |- ( b = d -> ( c F b ) = ( c F d ) )
5	4	opeq2d 4409	. . 3 |- ( b = d -> <. suc c , ( c F b ) >. = <. suc c , ( c F d ) >. )
6	3, 5	cbvmpt2v 6735	. 2 |- ( a e. om , b e. _V |-> <. suc a , ( a F b ) >. ) = ( c e. om , d e. _V |-> <. suc c , ( c F d ) >. )
7		rdgeq1 7507	. 2 |- ( ( a e. om , b e. _V |-> <. suc a , ( a F b ) >. ) = ( c e. om , d e. _V |-> <. suc c , ( c F d ) >. ) -> rec ( ( a e. om , b e. _V |-> <. suc a , ( a F b ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) = rec ( ( c e. om , d e. _V |-> <. suc c , ( c F d ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) )
8	6, 7	ax-mp 5	1 |- rec ( ( a e. om , b e. _V |-> <. suc a , ( a F b ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) = rec ( ( c e. om , d e. _V |-> <. suc c , ( c F d ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. )

Syntax hints:   = wceq 1483   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   <.cop 4183   _I cid 5023   suc csuc 5725   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  fnseqom  7550  seqom0g  7551  seqomsuc  7552