Theorem seqom0g 7551

Description: Value of an index-aware recursive definition at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revise by AV, 17-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqom.a	|- G = seq𝜔 ( F , I )

Assertion

Ref	Expression
seqom0g	|- ( I e. V -> ( G ` (/) ) = I )

Proof of Theorem seqom0g

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqom.a	. . . . 5 |- G = seq𝜔 ( F , I )
2		df-seqom 7543	. . . . 5 |- seq𝜔 ( F , I ) = ( rec ( ( a e. om , b e. _V |-> <. suc a , ( a F b ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) " om )
3	1, 2	eqtri 2644	. . . 4 |- G = ( rec ( ( a e. om , b e. _V |-> <. suc a , ( a F b ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) " om )
4	3	fveq1i 6192	. . 3 |- ( G ` (/) ) = ( ( rec ( ( a e. om , b e. _V |-> <. suc a , ( a F b ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) " om ) ` (/) )
5		seqomlem0 7544	. . . 4 |- rec ( ( a e. om , b e. _V |-> <. suc a , ( a F b ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) = rec ( ( c e. om , d e. _V |-> <. suc c , ( c F d ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. )
6	5	seqomlem3 7547	. . 3 |- ( ( rec ( ( a e. om , b e. _V |-> <. suc a , ( a F b ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) " om ) ` (/) ) = ( _I ` I )
7	4, 6	eqtri 2644	. 2 |- ( G ` (/) ) = ( _I ` I )
8		fvi 6255	. 2 |- ( I e. V -> ( _I ` I ) = I )
9	7, 8	syl5eq 2668	1 |- ( I e. V -> ( G ` (/) ) = I )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   <.cop 4183   _I cid 5023   "cima 5117   suc csuc 5725   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   reccrdg 7505  seq_𝜔cseqom 7542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543

This theorem is referenced by:  cantnfvalf  8562  cantnfval2  8566  cantnflt  8569  cantnff  8571  cantnf0  8572  cantnfp1lem3  8577  cantnf  8590  cnfcom  8597  fseqenlem1  8847  fin23lem14  9155  fin23lem16  9157