Theorem setsdm 15892

Description: The domain of a structure with replacement is the domain of the original structure extended by the index of the replacement. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsdm	|- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> dom ( G sSet <. I , E >. ) = ( dom G u. { I } ) )

Proof of Theorem setsdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4932	. . . . 5 |- <. I , E >. e. _V
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( E e. W -> <. I , E >. e. _V )
3		setsvalg 15887	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ <. I , E >. e. _V ) -> ( G sSet <. I , E >. ) = ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
4	2, 3	sylan2 491	. . 3 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> ( G sSet <. I , E >. ) = ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
5	4	dmeqd 5326	. 2 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> dom ( G sSet <. I , E >. ) = dom ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
6		dmun 5331	. . 3 |- dom ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) = ( dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. dom { <. I , E >. } )
7		dmres 5419	. . . . 5 |- dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) = ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G )
8		dmsnopg 5606	. . . . . . . . 9 |- ( E e. W -> dom { <. I , E >. } = { I } )
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> dom { <. I , E >. } = { I } )
10	9	difeq2d 3728	. . . . . . 7 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> ( _V \ dom { <. I , E >. } ) = ( _V \ { I } ) )
11	10	ineq1d 3813	. . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G ) = ( ( _V \ { I } ) i^i dom G ) )
12		incom 3805	. . . . . . 7 |- ( ( _V \ { I } ) i^i dom G ) = ( dom G i^i ( _V \ { I } ) )
13		invdif 3868	. . . . . . 7 |- ( dom G i^i ( _V \ { I } ) ) = ( dom G \ { I } )
14	12, 13	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( ( _V \ { I } ) i^i dom G ) = ( dom G \ { I } )
15	11, 14	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom G ) = ( dom G \ { I } ) )
16	7, 15	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) = ( dom G \ { I } ) )
17	16, 9	uneq12d 3768	. . 3 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> ( dom ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. dom { <. I , E >. } ) = ( ( dom G \ { I } ) u. { I } ) )
18	6, 17	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> dom ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) = ( ( dom G \ { I } ) u. { I } ) )
19		undif1 4043	. . 3 |- ( ( dom G \ { I } ) u. { I } ) = ( dom G u. { I } )
20	19	a1i 11	. 2 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> ( ( dom G \ { I } ) u. { I } ) = ( dom G u. { I } ) )
21	5, 18, 20	3eqtrd 2660	1 |- ( ( G e. V /\ E e. W ) -> dom ( G sSet <. I , E >. ) = ( dom G u. { I } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   |` cres 5116  (class class class)co 6650   sSet csts 15855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-sets 15864

This theorem is referenced by:  setsstruct2  15896  setsstructOLD  15899  basprssdmsets  15925