MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsstructOLD Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem setsstructOLD 15899
Description: Obsolete version of setsstruct 15898 as of 14-Nov-2021. (Contributed by AV, 9-Jun-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
setsstructOLD |- ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G Struct <. M , N >. -> ( G sSet <. I , E >. ) Struct <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. ) )
Proof of Theorem setsstructOLD
StepHypRef Expression
1 simpr11 1145 . . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> M e. NN )
2 simpr12 1146 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> N e. NN )
3 eluznn 11758 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> I e. NN )
43ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> I e. NN ) )
543ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> I e. NN ) )
653ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> I e. NN ) )
76com12 32 . . . . . . . 8 |- ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> I e. NN ) )
873ad2ant3 1084 . . . . . . 7 |- ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> I e. NN ) )
98imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> I e. NN )
102, 9ifcld 4131 . . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> if ( I <_ N , N , I ) e. NN )
11 nnre 11027 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
12113ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> N e. RR )
13 eluzelre 11698 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> I e. RR )
1412, 13anim12i 590 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N e. RR /\ I e. RR ) )
15 nnre 11027 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> M e. RR )
16153ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> M e. RR )
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
18 simpl3 1066 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ N )
1914, 17, 183jca 1242 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( N e. RR /\ I e. RR ) /\ M e. RR /\ M <_ N ) )
2019ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N e. RR /\ I e. RR ) /\ M e. RR /\ M <_ N ) ) )
21203ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N e. RR /\ I e. RR ) /\ M e. RR /\ M <_ N ) ) )
2221com12 32 . . . . . . . 8 |- ( I e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> ( ( N e. RR /\ I e. RR ) /\ M e. RR /\ M <_ N ) ) )
23223ad2ant3 1084 . . . . . . 7 |- ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> ( ( N e. RR /\ I e. RR ) /\ M e. RR /\ M <_ N ) ) )
2423imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> ( ( N e. RR /\ I e. RR ) /\ M e. RR /\ M <_ N ) )
25 lemaxle 12026 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. RR /\ I e. RR ) /\ M e. RR /\ M <_ N ) -> M <_ if ( I <_ N , N , I ) )
2624, 25syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> M <_ if ( I <_ N , N , I ) )
271, 10, 263jca 1242 . . . 4 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> ( M e. NN /\ if ( I <_ N , N , I ) e. NN /\ M <_ if ( I <_ N , N , I ) ) )
28 simp1 1061 . . . . . 6 |- ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> G e. U )
29 simp2 1062 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> Fun ( G \ { (/) } ) )
3028, 29anim12i 590 . . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> ( G e. U /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) )
31 pm3.22 465 . . . . . . 7 |- ( ( E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) /\ E e. V ) )
32313adant1 1079 . . . . . 6 |- ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) /\ E e. V ) )
3332adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> ( I e. ( ZZ>= ` M ) /\ E e. V ) )
34 setsfun0 15894 . . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. ( ZZ>= ` M ) /\ E e. V ) ) -> Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) )
3530, 33, 34syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) )
36 3simpa 1058 . . . . . . 7 |- ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G e. U /\ E e. V ) )
3736adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> ( G e. U /\ E e. V ) )
38 setsdm 15892 . . . . . 6 |- ( ( G e. U /\ E e. V ) -> dom ( G sSet <. I , E >. ) = ( dom G u. { I } ) )
3937, 38syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> dom ( G sSet <. I , E >. ) = ( dom G u. { I } ) )
40 simp3 1063 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> dom G C_ ( M ... N ) )
41 nnz 11399 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
42413ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
43423ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> N e. ZZ )
44 simpl3 1066 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> I e. ( ZZ>= ` M ) )
45 ssfzunsn 12387 . . . . . 6 |- ( ( dom G C_ ( M ... N ) /\ N e. ZZ /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( dom G u. { I } ) C_ ( M ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
4640, 43, 44, 45syl2an23an 1387 . . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> ( dom G u. { I } ) C_ ( M ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
4739, 46eqsstrd 3639 . . . 4 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> dom ( G sSet <. I , E >. ) C_ ( M ... if ( I <_ N , N , I ) ) )
4827, 35, 473jca 1242 . . 3 |- ( ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) ) -> ( ( M e. NN /\ if ( I <_ N , N , I ) e. NN /\ M <_ if ( I <_ N , N , I ) ) /\ Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) /\ dom ( G sSet <. I , E >. ) C_ ( M ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) )
4948ex 450 . 2 |- ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) -> ( ( M e. NN /\ if ( I <_ N , N , I ) e. NN /\ M <_ if ( I <_ N , N , I ) ) /\ Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) /\ dom ( G sSet <. I , E >. ) C_ ( M ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) ) )
50 isstruct 15870 . 2 |- ( G Struct <. M , N >. <-> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ dom G C_ ( M ... N ) ) )
51 isstruct 15870 . 2 |- ( ( G sSet <. I , E >. ) Struct <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. <-> ( ( M e. NN /\ if ( I <_ N , N , I ) e. NN /\ M <_ if ( I <_ N , N , I ) ) /\ Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) /\ dom ( G sSet <. I , E >. ) C_ ( M ... if ( I <_ N , N , I ) ) ) )
5249, 50, 513imtr4g 285 1 |- ( ( G e. U /\ E e. V /\ I e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G Struct <. M , N >. -> ( G sSet <. I , E >. ) Struct <. M , if ( I <_ N , N , I ) >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Struct cstr 15853   sSet csts 15855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-sets 15864
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator