Theorem slmdlema 29756

Description: Lemma for properties of a semimodule. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isslmd.v	|- V = ( Base ` W )
isslmd.a	|- .+ = ( +g ` W )
isslmd.s	|- .x. = ( .s ` W )
isslmd.0	|- .0. = ( 0g ` W )
isslmd.f	|- F = (Scalar ` W )
isslmd.k	|- K = ( Base ` F )
isslmd.p	|- .+^ = ( +g ` F )
isslmd.t	|- .X. = ( .r ` F )
isslmd.u	|- .1. = ( 1r ` F )
isslmd.o	|- O = ( 0g ` F )

Assertion

Ref	Expression
slmdlema	|- ( ( W e. SLMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) )

Proof of Theorem slmdlema

Dummy variables q r w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isslmd.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
2		isslmd.a	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` W )
3		isslmd.s	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` W )
4		isslmd.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
5		isslmd.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` W )
6		isslmd.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
7		isslmd.p	. . . . . 6 |- .+^ = ( +g ` F )
8		isslmd.t	. . . . . 6 |- .X. = ( .r ` F )
9		isslmd.u	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` F )
10		isslmd.o	. . . . . 6 |- O = ( 0g ` F )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	isslmd 29755	. . . . 5 |- ( W e. SLMod <-> ( W e. CMnd /\ F e. SRing /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
12	11	simp3bi 1078	. . . 4 |- ( W e. SLMod -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) )
13		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .+^ r ) = ( Q .+^ r ) )
14	13	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .+^ r ) .x. w ) )
15		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .x. w ) = ( Q .x. w ) )
16	15	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) )
17	14, 16	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
18	17	3anbi3d 1405	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) ) )
19		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .X. r ) = ( Q .X. r ) )
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( ( Q .X. r ) .x. w ) )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( q .x. ( r .x. w ) ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) )
22	20, 21	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) ) )
23	22	3anbi1d 1403	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) <-> ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) )
24	18, 23	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( q = Q -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
25	24	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( q = Q -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
26		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( r .x. w ) = ( R .x. w ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( r .x. w ) e. V <-> ( R .x. w ) e. V ) )
28		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( R .x. ( w .+ x ) ) )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r .x. x ) = ( R .x. x ) )
30	26, 29	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) )
31	28, 30	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) <-> ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) ) )
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( Q .+^ r ) = ( Q .+^ R ) )
33	32	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .+^ R ) .x. w ) )
34	26	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) )
35	33, 34	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) )
36	27, 31, 35	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) ) )
37		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( Q .X. r ) = ( Q .X. R ) )
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( ( Q .X. R ) .x. w ) )
39	26	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( Q .x. ( r .x. w ) ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) )
40	38, 39	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) ) )
41	40	3anbi1d 1403	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) <-> ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) )
42	36, 41	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
43	42	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( r = R -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
44	25, 43	rspc2v 3322	. . . 4 |- ( ( Q e. K /\ R e. K ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
45	12, 44	mpan9 486	. . 3 |- ( ( W e. SLMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) )
46		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( w .+ x ) = ( w .+ X ) )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( R .x. ( w .+ X ) ) )
48		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( R .x. x ) = ( R .x. X ) )
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) )
50	47, 49	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) <-> ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
51	50	3anbi2d 1404	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) ) )
52	51	anbi1d 741	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) ) )
53		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( R .x. w ) = ( R .x. Y ) )
54	53	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( R .x. w ) e. V <-> ( R .x. Y ) e. V ) )
55		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( w = Y -> ( w .+ X ) = ( Y .+ X ) )
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( R .x. ( Y .+ X ) ) )
57	53	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) )
58	56, 57	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) <-> ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
59		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) )
60		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( w = Y -> ( Q .x. w ) = ( Q .x. Y ) )
61	60, 53	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) )
62	59, 61	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) )
63	54, 58, 62	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) ) )
64		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( ( Q .X. R ) .x. Y ) )
65	53	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( Q .x. ( R .x. w ) ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) )
66	64, 65	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) ) )
67		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( .1. .x. w ) = ( .1. .x. Y ) )
68		id 22	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> w = Y )
69	67, 68	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( .1. .x. w ) = w <-> ( .1. .x. Y ) = Y ) )
70		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( O .x. w ) = ( O .x. Y ) )
71	70	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( O .x. w ) = .0. <-> ( O .x. Y ) = .0. ) )
72	66, 69, 71	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) <-> ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) )
73	63, 72	anbi12d 747	. . . 4 |- ( w = Y -> ( ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) <-> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) ) )
74	52, 73	rspc2v 3322	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w /\ ( O .x. w ) = .0. ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) ) )
75	45, 74	syl5com 31	. 2 |- ( ( W e. SLMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) -> ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) ) )
76	75	3impia 1261	1 |- ( ( W e. SLMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y /\ ( O .x. Y ) = .0. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100  CMndccmn 18193   1rcur 18501  SRingcsrg 18505  SLModcslmd 29753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-slmd 29754

This theorem is referenced by:  slmdvscl  29767  slmdvsdi  29768  slmdvsdir  29769  slmdvsass  29770  slmdvs1  29773  slmd0vs  29777