Theorem slmdvs1 29773

Description: Scalar product with ring unit. (ax-hvmulid 27863 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdvs1.v	|- V = ( Base ` W )
slmdvs1.f	|- F = (Scalar ` W )
slmdvs1.s	|- .x. = ( .s ` W )
slmdvs1.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
slmdvs1	|- ( ( W e. SLMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Proof of Theorem slmdvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 |- ( ( W e. SLMod /\ X e. V ) -> W e. SLMod )
2		slmdvs1.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
4		slmdvs1.u	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` F )
5	2, 3, 4	slmd1cl 29772	. . 3 |- ( W e. SLMod -> .1. e. ( Base ` F ) )
6	5	adantr 481	. 2 |- ( ( W e. SLMod /\ X e. V ) -> .1. e. ( Base ` F ) )
7		simpr 477	. 2 |- ( ( W e. SLMod /\ X e. V ) -> X e. V )
8		slmdvs1.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
10		slmdvs1.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
11		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
12		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
15	8, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 4, 14	slmdlema 29756	. . . 4 |- ( ( W e. SLMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( .1. .x. X ) e. V /\ ( .1. .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) /\ ( ( .1. ( +g ` F ) .1. ) .x. X ) = ( ( .1. .x. X ) ( +g ` W ) ( .1. .x. X ) ) ) /\ ( ( ( .1. ( .r ` F ) .1. ) .x. X ) = ( .1. .x. ( .1. .x. X ) ) /\ ( .1. .x. X ) = X /\ ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) ) ) )
16	15	simprd 479	. . 3 |- ( ( W e. SLMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( .1. ( .r ` F ) .1. ) .x. X ) = ( .1. .x. ( .1. .x. X ) ) /\ ( .1. .x. X ) = X /\ ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) ) )
17	16	simp2d 1074	. 2 |- ( ( W e. SLMod /\ ( .1. e. ( Base ` F ) /\ .1. e. ( Base ` F ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( .1. .x. X ) = X )
18	1, 6, 6, 7, 7, 17	syl122anc 1335	1 |- ( ( W e. SLMod /\ X e. V ) -> ( .1. .x. X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   1rcur 18501  SLModcslmd 29753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-slmd 29754

This theorem is referenced by: (None)