Theorem snnex 6966

Description: The class of all singletons is a proper class. See also pwnex 6968. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.) (Proof shortened by BJ, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnex	|- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem snnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abnex 6965	. . 3 |- ( A. y ( { y } e. _V /\ y e. { y } ) -> -. { x | E. y x = { y } } e. _V )
2		df-nel 2898	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V <-> -. { x | E. y x = { y } } e. _V )
3	1, 2	sylibr 224	. 2 |- ( A. y ( { y } e. _V /\ y e. { y } ) -> { x | E. y x = { y } } e/ _V )
4		snex 4908	. . 3 |- { y } e. _V
5		vsnid 4209	. . 3 |- y e. { y }
6	4, 5	pm3.2i 471	. 2 |- ( { y } e. _V /\ y e. { y } )
7	3, 6	mpg 1724	1 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   e/ wnel 2897   _Vcvv 3200   {csn 4177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-iun 4522

This theorem is referenced by:  fiprc  8039