Theorem fiprc 8039

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	|- Fin e/ _V

Proof of Theorem fiprc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 6966	. 2 |- { x | E. y x = { y } } e/ _V
2		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { y } e. Fin
3		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> ( x e. Fin <-> { y } e. Fin ) )
4	2, 3	mpbiri 248	. . . . . . 7 |- ( x = { y } -> x e. Fin )
5	4	exlimiv 1858	. . . . . 6 |- ( E. y x = { y } -> x e. Fin )
6	5	abssi 3677	. . . . 5 |- { x | E. y x = { y } } C_ Fin
7		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( { x | E. y x = { y } } C_ Fin /\ Fin e. _V ) -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
8	6, 7	mpan 706	. . . 4 |- ( Fin e. _V -> { x | E. y x = { y } } e. _V )
9	8	con3i 150	. . 3 |- ( -. { x | E. y x = { y } } e. _V -> -. Fin e. _V )
10		df-nel 2898	. . 3 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V <-> -. { x | E. y x = { y } } e. _V )
11		df-nel 2898	. . 3 |- ( Fin e/ _V <-> -. Fin e. _V )
12	9, 10, 11	3imtr4i 281	. 2 |- ( { x | E. y x = { y } } e/ _V -> Fin e/ _V )
13	1, 12	ax-mp 5	1 |- Fin e/ _V

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   e/ wnel 2897   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-1o 7560  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by: (None)