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Theorem mclsax 31466
Description: The closure is closed under axiom application. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d |- D = (mDV ` T )
mclsval.e |- E = (mEx ` T )
mclsval.c |- C = (mCls ` T )
mclsval.1 |- ( ph -> T e. mFS )
mclsval.2 |- ( ph -> K C_ D )
mclsval.3 |- ( ph -> B C_ E )
mclsax.a |- A = (mAx ` T )
mclsax.l |- L = (mSubst ` T )
mclsax.v |- V = (mVR ` T )
mclsax.h |- H = (mVH ` T )
mclsax.w |- W = (mVars ` T )
mclsax.4 |- ( ph -> <. M , O , P >. e. A )
mclsax.5 |- ( ph -> S e. ran L )
mclsax.6 |- ( ( ph /\ x e. O ) -> ( S ` x ) e. ( K C B ) )
mclsax.7 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( S ` ( H ` v ) ) e. ( K C B ) )
mclsax.8 |- ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b )
Assertion
Ref Expression
mclsax |- ( ph -> ( S ` P ) e. ( K C B ) )
Distinct variable groups:   v, E   a, b, v, x, H   y, v, B, x   v, C, x   x, L, y   x, O, y   y, a, S, b, v, x   M, a, b, x, y   x, P, y   x, T, y   ph, a, b, v, x, y   v, V, x   W, a, b, x   K, a, b, v, x, y
Allowed substitution hints:   A( x, y, v, a, b)   B( a, b)   C( y, a, b)   D( x, y, v, a, b)   P( v, a, b)   T( v, a, b)   E( x, y, a, b)   H( y)   L( v, a, b)   M( v)   O( v, a, b)   V( y, a, b)   W( y, v)
Proof of Theorem mclsax
Dummy variables c m o p s z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abid 2610 . . . . . . . 8 |- ( c e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } <-> ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
2 intss1 4492 . . . . . . . 8 |- ( c e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ c )
31, 2sylbir 225 . . . . . . 7 |- ( ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ c )
4 mclsval.d . . . . . . . . 9 |- D = (mDV ` T )
5 mclsval.e . . . . . . . . 9 |- E = (mEx ` T )
6 mclsval.c . . . . . . . . 9 |- C = (mCls ` T )
7 mclsval.1 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. mFS )
8 mclsval.2 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> K C_ D )
9 mclsval.3 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ E )
10 mclsax.h . . . . . . . . 9 |- H = (mVH ` T )
11 mclsax.a . . . . . . . . 9 |- A = (mAx ` T )
12 mclsax.l . . . . . . . . 9 |- L = (mSubst ` T )
13 mclsax.w . . . . . . . . 9 |- W = (mVars ` T )
144, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13mclsval 31460 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K C B ) = |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )
1514sseq1d 3632 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K C B ) C_ c <-> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ c ) )
163, 15syl5ibr 236 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) -> ( K C B ) C_ c ) )
17 sstr2 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) -> ( ( K C B ) C_ c -> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c ) )
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K C B ) C_ c -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) -> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c ) )
1918anim1d 588 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K C B ) C_ c -> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) ) )
2019imim1d 82 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K C B ) C_ c -> ( ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) -> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) )
2120ralimdv 2963 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K C B ) C_ c -> ( A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) )
2221imim2d 57 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K C B ) C_ c -> ( ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) -> ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
2322alimdv 1845 . . . . . . . . 9 |- ( ( K C B ) C_ c -> ( A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) -> A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
24232alimdv 1847 . . . . . . . 8 |- ( ( K C B ) C_ c -> ( A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) -> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
2524com12 32 . . . . . . 7 |- ( A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) -> ( ( K C B ) C_ c -> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
2625adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) -> ( ( K C B ) C_ c -> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
2716, 26sylcom 30 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) -> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
28 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- (mPreSt ` T ) = (mPreSt ` T )
29 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- (mStat ` T ) = (mStat ` T )
3028, 29mstapst 31444 . . . . . . 7 |- (mStat ` T ) C_ (mPreSt ` T )
3111, 29maxsta 31451 . . . . . . . . 9 |- ( T e. mFS -> A C_ (mStat ` T ) )
327, 31syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ (mStat ` T ) )
33 mclsax.4 . . . . . . . 8 |- ( ph -> <. M , O , P >. e. A )
3432, 33sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ph -> <. M , O , P >. e. (mStat ` T ) )
3530, 34sseldi 3601 . . . . . 6 |- ( ph -> <. M , O , P >. e. (mPreSt ` T ) )
3628mpstrcl 31438 . . . . . 6 |- ( <. M , O , P >. e. (mPreSt ` T ) -> ( M e. _V /\ O e. _V /\ P e. _V ) )
37 simp1 1061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> m = M )
38 simp2 1062 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> o = O )
39 simp3 1063 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> p = P )
4037, 38, 39oteq123d 4417 . . . . . . . . 9 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> <. m , o , p >. = <. M , O , P >. )
4140eleq1d 2686 . . . . . . . 8 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( <. m , o , p >. e. A <-> <. M , O , P >. e. A ) )
4238uneq1d 3766 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( o u. ran H ) = ( O u. ran H ) )
4342imaeq2d 5466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( s " ( o u. ran H ) ) = ( s " ( O u. ran H ) ) )
4443sseq1d 3632 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) <-> ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) ) )
4537breqd 4664 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( x m y <-> x M y ) )
4645imbi1d 331 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) <-> ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) )
47462albidv 1851 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) <-> A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) )
4844, 47anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) <-> ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) ) )
4939fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( s ` p ) = ( s ` P ) )
5049eleq1d 2686 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( ( s ` p ) e. c <-> ( s ` P ) e. c ) )
5148, 50imbi12d 334 . . . . . . . . 9 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` P ) e. c ) ) )
5251ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> A. s e. ran L ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` P ) e. c ) ) )
5341, 52imbi12d 334 . . . . . . 7 |- ( ( m = M /\ o = O /\ p = P ) -> ( ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> ( <. M , O , P >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` P ) e. c ) ) ) )
5453spc3gv 3298 . . . . . 6 |- ( ( M e. _V /\ O e. _V /\ P e. _V ) -> ( A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) -> ( <. M , O , P >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` P ) e. c ) ) ) )
5535, 36, 543syl 18 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) -> ( <. M , O , P >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` P ) e. c ) ) ) )
56 elun 3753 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( O u. ran H ) <-> ( x e. O \/ x e. ran H ) )
57 mclsax.6 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. O ) -> ( S ` x ) e. ( K C B ) )
58 mclsax.7 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( S ` ( H ` v ) ) e. ( K C B ) )
5958ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. v e. V ( S ` ( H ` v ) ) e. ( K C B ) )
60 mclsax.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- V = (mVR ` T )
6160, 5, 10mvhf 31455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T e. mFS -> H : V --> E )
627, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H : V --> E )
63 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H : V --> E -> H Fn V )
64 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( H ` v ) -> ( S ` x ) = ( S ` ( H ` v ) ) )
6564eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( H ` v ) -> ( ( S ` x ) e. ( K C B ) <-> ( S ` ( H ` v ) ) e. ( K C B ) ) )
6665ralrn 6362 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H Fn V -> ( A. x e. ran H ( S ` x ) e. ( K C B ) <-> A. v e. V ( S ` ( H ` v ) ) e. ( K C B ) ) )
6762, 63, 663syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A. x e. ran H ( S ` x ) e. ( K C B ) <-> A. v e. V ( S ` ( H ` v ) ) e. ( K C B ) ) )
6859, 67mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. ran H ( S ` x ) e. ( K C B ) )
6968r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ran H ) -> ( S ` x ) e. ( K C B ) )
7057, 69jaodan 826 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. O \/ x e. ran H ) ) -> ( S ` x ) e. ( K C B ) )
7156, 70sylan2b 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( O u. ran H ) ) -> ( S ` x ) e. ( K C B ) )
7271ralrimiva 2966 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. ( O u. ran H ) ( S ` x ) e. ( K C B ) )
73 mclsax.5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. ran L )
7412, 5msubf 31429 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. ran L -> S : E --> E )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S : E --> E )
76 ffun 6048 . . . . . . . . . . 11 |- ( S : E --> E -> Fun S )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun S )
784, 5, 28elmpst 31433 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. M , O , P >. e. (mPreSt ` T ) <-> ( ( M C_ D /\ `' M = M ) /\ ( O C_ E /\ O e. Fin ) /\ P e. E ) )
7935, 78sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M C_ D /\ `' M = M ) /\ ( O C_ E /\ O e. Fin ) /\ P e. E ) )
8079simp2d 1074 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( O C_ E /\ O e. Fin ) )
8180simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> O C_ E )
82 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( S : E --> E -> dom S = E )
8375, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom S = E )
8481, 83sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> O C_ dom S )
85 frn 6053 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( H : V --> E -> ran H C_ E )
8662, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran H C_ E )
8786, 83sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran H C_ dom S )
8884, 87unssd 3789 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( O u. ran H ) C_ dom S )
89 funimass4 6247 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun S /\ ( O u. ran H ) C_ dom S ) -> ( ( S " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) <-> A. x e. ( O u. ran H ) ( S ` x ) e. ( K C B ) ) )
9077, 88, 89syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( S " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) <-> A. x e. ( O u. ran H ) ( S ` x ) e. ( K C B ) ) )
9172, 90mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) )
92 mclsax.8 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b )
93923exp2 1285 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x M y -> ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) -> ( b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) -> a K b ) ) ) )
9493imp4b 613 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x M y ) -> ( ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) -> a K b ) )
9594ralrimivv 2970 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x M y ) -> A. a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) A. b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) a K b )
96 dfss3 3592 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K <-> A. z e. ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) z e. K )
97 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = <. a , b >. -> ( z e. K <-> <. a , b >. e. K ) )
98 df-br 4654 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a K b <-> <. a , b >. e. K )
9997, 98syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = <. a , b >. -> ( z e. K <-> a K b ) )
10099ralxp 5263 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) z e. K <-> A. a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) A. b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) a K b )
10196, 100bitri 264 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K <-> A. a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) A. b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) a K b )
10295, 101sylibr 224 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x M y ) -> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K )
103102ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x M y -> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) )
104103alrimivv 1856 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) )
10591, 104jca 554 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) )
106 imaeq1 5461 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( s " ( O u. ran H ) ) = ( S " ( O u. ran H ) ) )
107106sseq1d 3632 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) <-> ( S " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) ) )
108 fveq1 6190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = S -> ( s ` ( H ` x ) ) = ( S ` ( H ` x ) ) )
109108fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = S -> ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) = ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) )
110 fveq1 6190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = S -> ( s ` ( H ` y ) ) = ( S ` ( H ` y ) ) )
111110fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = S -> ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) = ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) )
112109, 111xpeq12d 5140 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) = ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) )
113112sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K <-> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) )
114113imbi2d 330 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) <-> ( x M y -> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) )
1151142albidv 1851 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) <-> A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) )
116107, 115anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) <-> ( ( S " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) ) )
117 fveq1 6190 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( s ` P ) = ( S ` P ) )
118117eleq1d 2686 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( ( s ` P ) e. c <-> ( S ` P ) e. c ) )
119116, 118imbi12d 334 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` P ) e. c ) <-> ( ( ( S " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( S ` P ) e. c ) ) )
120119rspcv 3305 . . . . . . . 8 |- ( S e. ran L -> ( A. s e. ran L ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` P ) e. c ) -> ( ( ( S " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( S ` P ) e. c ) ) )
12173, 120syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. s e. ran L ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` P ) e. c ) -> ( ( ( S " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( S ` P ) e. c ) ) )
122105, 121mpid 44 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. s e. ran L ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` P ) e. c ) -> ( S ` P ) e. c ) )
12333, 122embantd 59 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( <. M , O , P >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( O u. ran H ) ) C_ ( K C B ) /\ A. x A. y ( x M y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` P ) e. c ) ) -> ( S ` P ) e. c ) )
12427, 55, 1233syld 60 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) -> ( S ` P ) e. c ) )
125124alrimiv 1855 . . 3 |- ( ph -> A. c ( ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) -> ( S ` P ) e. c ) )
126 fvex 6201 . . . 4 |- ( S ` P ) e. _V
127126elintab 4487 . . 3 |- ( ( S ` P ) e. |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } <-> A. c ( ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) -> ( S ` P ) e. c ) )
128125, 127sylibr 224 . 2 |- ( ph -> ( S ` P ) e. |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )
129128, 14eleqtrrd 2704 1 |- ( ph -> ( S ` P ) e. ( K C B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   <.cop 4183   <.cotp 4185   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  mVRcmvar 31358  mAxcmax 31362  mExcmex 31364  mDVcmdv 31365  mVarscmvrs 31366  mSubstcmsub 31368  mVHcmvh 31369  mPreStcmpst 31370  mStatcmsta 31372  mFScmfs 31373  mClscmcls 31374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mex 31384  df-mrsub 31387  df-msub 31388  df-mvh 31389  df-mpst 31390  df-msr 31391  df-msta 31392  df-mfs 31393  df-mcls 31394
This theorem is referenced by:  mclsppslem  31480
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